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Theorem sqwvfourb 37393
Description: Fourier series  B coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
sqwvfourb.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
sqwvfourb.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    T( x)    F( x)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 23145 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9918 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
41a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 0re 9628 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 negpilt0 36849 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  0
72, 5, 6ltleii 9741 . . . . . 6  |-  -u pi  <_  0
8 pipos 23147 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
95, 1, 8ltleii 9741 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
102, 1elicc2i 11646 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0  /\  0  <_  pi ) )
115, 7, 9, 10mpbir3an 1181 . . . . 5  |-  0  e.  ( -u pi [,] pi )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( -u pi [,] pi ) )
13 elioore 11614 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1413adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
15 1re 9627 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1615renegcli 9918 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
1715, 16keepel 3954 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
1918fvmpt2 5943 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
2014, 17, 19sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
2117a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
2221recnd 9654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC )
2320, 22eqeltrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2524nncnd 10594 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2625adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
2714recnd 9654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
2826, 27mulcld 9648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  CC )
2928sincld 14076 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
3023, 29mulcld 9648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  e.  CC )
31 elioore 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  RR )
3231, 17, 19sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR )
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
35 2rp 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
36 pirp 23148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
37 rpmulcl 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
3934, 38eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR+ )
4131, 40modcld 12042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  mod  T )  e.  RR )
42 picn 23146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
43422timesi 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
4434, 43eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( pi  +  pi )
4544oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u pi  +  T )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
462recni 9640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  CC
4746, 42, 42addassi 9636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
4842negidi 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  +  -u pi )  =  0
4942, 46, 48addcomli 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u pi  +  pi )  =  0
5049oveq1i 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( 0  +  pi )
5142addid2i 9804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
5250, 51eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  pi
5345, 47, 523eqtr2ri 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =  ( -u pi  +  T
)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  =  ( -u pi  +  T ) )
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR )
56 2re 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
5756, 1remulcli 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5834, 57eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR )
602rexri 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR*
61 0xr 9672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
62 ioogtlb 36910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  -u pi  <  x )
6360, 61, 62mp3an12 1318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  <  x )
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 10205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  +  T )  <  ( x  +  T ) )
6554, 64eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  +  T
) )
6658recni 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  CC
6766mulid2i 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  T )  =  T
6867eqcomi 2417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  x.  T
)
6968oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  T ) )
7069oveq1i 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  T )  mod  T )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  T
) )  mod  T
)
7131, 59readdcld 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
72 0red 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR )
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  pi )
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 9779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  ( x  +  T
) )
7572, 71, 74ltled 9767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <_  ( x  +  T
) )
76 iooltub 36929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  x  <  0 )
7760, 61, 76mp3an12 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  0 )
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 10205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  ( 0  +  T ) )
7959recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  CC )
8079addid2d 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  +  T )  =  T )
8178, 80breqtrd 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  T )
82 modid 12061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  +  T )  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
x  +  T )  /\  ( x  +  T )  <  T
) )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
84 1zzd 10938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  1  e.  ZZ )
85 modcyc 12072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8631, 40, 84, 85syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8770, 83, 863eqtr3a 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  =  ( x  mod  T ) )
8865, 87breqtrd 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  mod  T
) )
8933, 41, 88ltnsymd 9768 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -.  ( x  mod  T )  <  pi )
9089iffalsed 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
9132, 90eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9291adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9392oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
9493mpteq2dva 4483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
95 neg1cn 10682 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
9724nnred 10593 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  N  e.  RR )
9931adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  x  e.  RR )
10098, 99remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
101100resincld 14089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
102 ioossicc 11666 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0
)
103102a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0 ) )
104 ioombl 22269 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  e. 
dom  vol
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol )
10697adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  N  e.  RR )
107 iccssre 11662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR )
1082, 5, 107mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR
109108sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  ->  x  e.  RR )
110109adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  x  e.  RR )
111106, 110remulcld 9656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
112111resincld 14089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
113 0red 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
114 sincn 23133 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
115114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
116 ax-resscn 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
117108, 116sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC )
119 ssid 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
121118, 25, 120constcncfg 37054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  N )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
122118, 120idcncfg 37055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  x )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
123121, 122mulcncf 22153 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( N  x.  x ) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124115, 123cncfmpt1f 21711 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125 cniccibl 22541 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  |->  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  e.  L^1 )
1263, 113, 124, 125syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
127103, 105, 112, 126iblss 22505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
12896, 101, 127iblmulc2 22531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
12994, 128eqeltrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  e.  RR* )
1311rexri 9678 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR* )
133 elioore 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  e.  RR )
135 0red 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR )
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  <  0 )
137 ioogtlb 36910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <  x )
13861, 131, 137mp3an12 1318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  x )
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  <  x )
140 iooltub 36929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  <  pi )
14161, 131, 140mp3an12 1318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  pi )
142130, 132, 133, 139, 141eliood 36913 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
143142, 20sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR+ )
145135, 133, 138ltled 9767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  x )
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR )
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR )
148 2timesgt 36861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
150149, 34breqtrri 4422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  T
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  <  T )
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  T )
153 modid 12061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  T ) )  ->  ( x  mod  T )  =  x )
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  =  x )
155154, 141eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  <  pi )
156155iftrued 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
157156adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
158143, 157eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  1 )
159158oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
160142, 29sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
161160mulid2d 9646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
162159, 161eqtrd 2445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
163162mpteq2dva 4483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  ( N  x.  x
) ) ) )
164 ioossicc 11666 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
165164a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
166 ioombl 22269 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
167166a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
16897adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  RR )
169 iccssre 11662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1705, 1, 169mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
171170sseli 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  RR )
172171adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  RR )
173168, 172remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
174173resincld 14089 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
175170, 116sstri 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
177176, 25, 120constcncfg 37054 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  N )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
178176, 120idcncfg 37055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  x )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179177, 178mulcncf 22153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( N  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180115, 179cncfmpt1f 21711 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181 cniccibl 22541 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
182113, 4, 180, 181syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
183165, 167, 174, 182iblss 22505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
184163, 183eqeltrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 22538 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x ) )
186185oveq1d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi ) )
18791oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
188187adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR* )
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR* )
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  pi )
192189, 190, 31, 63, 191eliood 36913 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
193192, 29sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
194193mulm1d 10051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  = 
-u ( sin `  ( N  x.  x )
) )
195188, 194eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  = 
-u ( sin `  ( N  x.  x )
) )
196195itgeq2dv 22482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
197101, 127itgneg 22504 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
19824nnne0d 10623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  0
)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 37154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N
) )
20124nnzd 11009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
202 cosknegpi 37050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  =  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u 1 ) )
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  =  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )
20425mul01d 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
205204fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  0 ) )  =  ( cos `  0 ) )
206 cos0 14096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
207205, 206syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  0 ) )  =  1 )
208203, 207oveq12d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  =  ( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 ) )
209 1m1e0 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
210 iftrue 3893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
211210oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
212 iftrue 3893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  0 )
213209, 211, 2123eqtr4a 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
) )
214 iffalse 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
215214oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 )  =  (
-u 1  -  1 ) )
216 ax-1cn 9582 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
217 negdi2 9915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( 1  +  1 )  =  (
-u 1  -  1 ) )
218216, 216, 217mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  -  1 )
219218eqcomi 2417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  -  1 )  =  -u ( 1  +  1 )
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( -u 1  -  1 )  =  -u (
1  +  1 ) )
221 iffalse 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  -u
2 )
222 1p1e2 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
223222negeqi 9851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  +  1 )  =  -u 2
224221, 223syl6reqr 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u ( 1  +  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
) )
225215, 220, 2243eqtrd 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 ) )
226213, 225pm2.61i 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)
227208, 226syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 ) )
228227oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  -u 2 )  /  N ) )
229200, 228eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N ) )
230229negeqd 9852 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  -u ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  /  N
) )
231 0cn 9620 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
232 2cn 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
233232negcli 9925 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  CC
234231, 233keepel 3954 . . . . . . . . 9  |-  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  e.  CC
235234a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  e.  CC )
236235, 25, 198divnegd 10376 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N )  =  ( -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  /  N
) )
237 neg0 9903 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 0  =  0
238212negeqd 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  -u
0 )
239 iftrue 3893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  =  0 )
240237, 238, 2393eqtr4a 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
241232negnegi 9927 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
242221negeqd 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  =  -u -u 2 )
243 iffalse 3896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  =  2 )
244241, 242, 2433eqtr4a 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
245240, 244pm2.61i 166 . . . . . . . . 9  |-  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )
246245oveq1i 6290 . . . . . . . 8  |-  ( -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  /  N
)  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  /  N )
247246a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N )  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
248230, 236, 2473eqtrd 2449 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  /  N
) )
249196, 197, 2483eqtr2d 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
250133, 17, 19sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
251250, 156eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  1 )
252251oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
253252adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
254253, 161eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
255254itgeq2dv 22482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
2569a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 37154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi )
) )  /  N
) )
258 coskpi2 37047 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( N  x.  pi ) )  =  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )
260207, 259oveq12d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) ) )
261210oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  N  ->  (
1  -  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )  =  ( 1  -  1 ) )
262209, 261, 2393eqtr4a 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  N  ->  (
1  -  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
263214oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( 1  -  -u 1
) )
264216, 216subnegi 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  -u 1
)  =  ( 1  +  1 ) )
266243, 222syl6reqr 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  +  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )
267263, 265, 2663eqtrd 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )
268262, 267pm2.61i 166 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 ) )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )
269260, 268syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )
270269oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  /  N )  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  /  N
) )
271255, 257, 2703eqtrd 2449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
272249, 271oveq12d 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N )  +  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  /  N ) ) )
273231, 232keepel 3954 . . . . . 6  |-  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  e.  CC
274273a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  e.  CC )
275274, 274, 25, 198divdird 10401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N )  +  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  /  N ) ) )
276239, 239oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
277 00id 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
278276, 277syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )  =  0 )
279278oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  N  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
280279adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
28125, 198div0d 10362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
282281adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
0  /  N )  =  0 )
283 iftrue 3893 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  =  0 )
284283eqcomd 2412 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  N  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
285284adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
286280, 282, 2853eqtrd 2449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) ) )
287243, 243oveq12d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  =  ( 2  +  2 ) )
288 2p2e4 10696 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
289287, 288syl6eq 2461 . . . . . . . 8  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  =  4 )
290289oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  ( 4  /  N
) )
291 iffalse 3896 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  =  ( 4  /  N ) )
292290, 291eqtr4d 2448 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
293292adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) ) )
294286, 293pm2.61dan 794 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
295272, 275, 2943eqtr2d 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
296295oveq1d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi )  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi ) )
297283oveq1d 6295 . . . . 5  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( 0  /  pi ) )
298297adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( 0  /  pi ) )
2995, 8gtneii 9730 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
30042, 299div0i 10321 . . . . 5  |-  ( 0  /  pi )  =  0
301300a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
0  /  pi )  =  0 )
302 iftrue 3893 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )  =  0 )
303302eqcomd 2412 . . . . 5  |-  ( 2 
||  N  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  ( N  x.  pi )
) ) )
304303adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  ( N  x.  pi )
) ) )
305298, 301, 3043eqtrd 2449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
306291oveq1d 6295 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  (
( 4  /  N
)  /  pi ) )
307306adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( ( 4  /  N )  /  pi ) )
308 4cn 10656 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
309308a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
31042a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
311299a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 10394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  /  N )  /  pi )  =  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )
313312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
( 4  /  N
)  /  pi )  =  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) )
314 iffalse 3896 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )
315314eqcomd 2412 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 4  /  ( N  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) ) )
316315adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
4  /  ( N  x.  pi ) )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
317307, 313, 3163eqtrd 2449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
318305, 317pm2.61dan 794 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) ) )
319186, 296, 3183eqtrd 2449 1  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600    C_ wss 3416   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844    / cdiv 10249   NNcn 10578   2c2 10628   4c4 10630   ZZcz 10907   RR+crp 11267   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587    mod cmo 12036   sincsin 14010   cosccos 14011   picpi 14013    || cdvds 14197   -cn->ccncf 21674   volcvol 22169   L^1cibl 22320   S.citg 22321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-dvds 14198  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324  df-ibl 22325  df-itg 22326  df-0p 22371  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  fouriersw  37395
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