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Theorem sqwvfourb 38194
Description: Fourier series  B coefficients for the square wave function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfourb.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
sqwvfourb.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
sqwvfourb.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
sqwvfourb  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    T( x)    F( x)

Proof of Theorem sqwvfourb
StepHypRef Expression
1 pire 23469 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9966 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
41a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 0re 9674 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 negpilt0 37565 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  0
72, 5, 6ltleii 9788 . . . . . 6  |-  -u pi  <_  0
8 pipos 23471 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
95, 1, 8ltleii 9788 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
102, 1elicc2i 11734 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0  /\  0  <_  pi ) )
115, 7, 9, 10mpbir3an 1196 . . . . 5  |-  0  e.  ( -u pi [,] pi )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( -u pi [,] pi ) )
13 elioore 11700 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1413adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
15 1re 9673 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1615renegcli 9966 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
1715, 16keepel 3960 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR
18 sqwvfourb.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
1918fvmpt2 5985 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
2014, 17, 19sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
2117a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
2221recnd 9700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  CC )
2320, 22eqeltrd 2540 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
24 sqwvfourb.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2524nncnd 10658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2625adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
2714recnd 9700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
2826, 27mulcld 9694 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  CC )
2928sincld 14239 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
3023, 29mulcld 9694 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  e.  CC )
31 elioore 11700 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  RR )
3231, 17, 19sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
331a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR )
34 sqwvfourb.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
35 2rp 11341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
36 pirp 23472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
37 rpmulcl 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
3835, 36, 37mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
3934, 38eqeltri 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR+
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR+ )
4131, 40modcld 12140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  mod  T )  e.  RR )
42 picn 23470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  pi  e.  CC
43422timesi 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
4434, 43eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  T  =  ( pi  +  pi )
4544oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u pi  +  T )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
462recni 9686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  CC
4746, 42, 42addassi 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
4842negidi 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  +  -u pi )  =  0
4942, 46, 48addcomli 9856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u pi  +  pi )  =  0
5049oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( 0  +  pi )
5142addid2i 9852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
5250, 51eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  pi
5345, 47, 523eqtr2ri 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =  ( -u pi  +  T
)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  =  ( -u pi  +  T ) )
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR )
56 2re 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
5756, 1remulcli 9688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5834, 57eqeltri 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR )
602rexri 9724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR*
61 0xr 9718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
62 ioogtlb 37677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  -u pi  <  x )
6360, 61, 62mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  <  x )
6455, 31, 59, 63ltadd1dd 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  +  T )  <  ( x  +  T ) )
6554, 64eqbrtrd 4439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  +  T
) )
6658recni 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  CC
6766mulid2i 9677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  T )  =  T
6867eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  x.  T
)
6968oveq2i 6331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  T ) )
7069oveq1i 6330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  T )  mod  T )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  T
) )  mod  T
)
7131, 59readdcld 9701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
72 0red 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR )
738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  pi )
7472, 33, 71, 73, 65lttrd 9827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  ( x  +  T
) )
7572, 71, 74ltled 9814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <_  ( x  +  T
) )
76 iooltub 37695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  x  <  0 )
7760, 61, 76mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  0 )
7831, 72, 59, 77ltadd1dd 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  ( 0  +  T ) )
7959recnd 9700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  CC )
8079addid2d 9865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  +  T )  =  T )
8178, 80breqtrd 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  T )
82 modid 12159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  +  T )  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
x  +  T )  /\  ( x  +  T )  <  T
) )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
8371, 40, 75, 81, 82syl22anc 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
84 1zzd 11002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  1  e.  ZZ )
85 modcyc 12170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8631, 40, 84, 85syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8770, 83, 863eqtr3a 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  =  ( x  mod  T ) )
8865, 87breqtrd 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  mod  T
) )
8933, 41, 88ltnsymd 9815 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -.  ( x  mod  T )  <  pi )
9089iffalsed 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
9132, 90eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9291adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9392oveq1d 6335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
9493mpteq2dva 4505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) ) )
95 neg1cn 10746 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
9724nnred 10657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
9897adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  N  e.  RR )
9931adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  x  e.  RR )
10098, 99remulcld 9702 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
101100resincld 14252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
102 ioossicc 11754 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0
)
103102a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0 ) )
104 ioombl 22574 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  e. 
dom  vol
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol )
10697adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  N  e.  RR )
107 iccssre 11750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR )
1082, 5, 107mp2an 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR
109108sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  ->  x  e.  RR )
110109adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  x  e.  RR )
111106, 110remulcld 9702 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
112111resincld 14252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
113 0red 9675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
114 sincn 23455 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
115114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
116 ax-resscn 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
117108, 116sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC )
119 ssid 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
121118, 25, 120constcncfg 37834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  N )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
122118, 120idcncfg 37835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  x )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
123121, 122mulcncf 22453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( N  x.  x ) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124115, 123cncfmpt1f 22000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125 cniccibl 22854 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  |->  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  e.  L^1 )
1263, 113, 124, 125syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
127103, 105, 112, 126iblss 22818 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
12896, 101, 127iblmulc2 22844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
12994, 128eqeltrd 2540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
13060a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  e.  RR* )
1311rexri 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR* )
133 elioore 11700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  e.  RR )
135 0red 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR )
1366a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  <  0 )
137 ioogtlb 37677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <  x )
13861, 131, 137mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  x )
139134, 135, 133, 136, 138lttrd 9827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  -u pi  <  x )
140 iooltub 37695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  <  pi )
14161, 131, 140mp3an12 1363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  pi )
142130, 132, 133, 139, 141eliood 37680 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
143142, 20sylan2 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
14439a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR+ )
145135, 133, 138ltled 9814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  x )
1461a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR )
14758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR )
148 2timesgt 37576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
14936, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
150149, 34breqtrri 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  T
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  <  T )
152133, 146, 147, 141, 151lttrd 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  T )
153 modid 12159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  T ) )  ->  ( x  mod  T )  =  x )
154133, 144, 145, 152, 153syl22anc 1277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  =  x )
155154, 141eqbrtrd 4439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  <  pi )
156155iftrued 3901 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
157156adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
158143, 157eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  =  1 )
159158oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
160142, 29sylan2 481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
161160mulid2d 9692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
162159, 161eqtrd 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
163162mpteq2dva 4505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  ( N  x.  x
) ) ) )
164 ioossicc 11754 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
165164a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
166 ioombl 22574 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
167166a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
16897adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  RR )
169 iccssre 11750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1705, 1, 169mp2an 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
171170sseli 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  RR )
172171adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  RR )
173168, 172remulcld 9702 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
174173resincld 14252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
175170, 116sstri 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
177176, 25, 120constcncfg 37834 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  N )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
178176, 120idcncfg 37835 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  x )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179177, 178mulcncf 22453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( N  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180115, 179cncfmpt1f 22000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181 cniccibl 22854 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
182113, 4, 180, 181syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
183165, 167, 174, 182iblss 22818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
184163, 183eqeltrd 2540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
1853, 4, 12, 30, 129, 184itgsplitioo 22851 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x ) )
186185oveq1d 6335 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi ) )
18791oveq1d 6335 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
188187adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) ) )
18960a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR* )
190131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR* )
19131, 72, 33, 77, 73lttrd 9827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  pi )
192189, 190, 31, 63, 191eliood 37680 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )
193192, 29sylan2 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( sin `  ( N  x.  x ) )  e.  CC )
194193mulm1d 10103 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( -u 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  = 
-u ( sin `  ( N  x.  x )
) )
195188, 194eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  = 
-u ( sin `  ( N  x.  x )
) )
196195itgeq2dv 22795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
197101, 127itgneg 22817 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) -u ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
19824nnne0d 10687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
1997a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  0
)
20025, 198, 3, 113, 199itgsincmulx 37937 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N
) )
20124nnzd 11073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
202 cosknegpi 37830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  =  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u 1 ) )
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  =  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )
20425mul01d 9863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
205204fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  0 ) )  =  ( cos `  0 ) )
206 cos0 14259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( cos `  0 )  =  1
207205, 206syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  0 ) )  =  1 )
208203, 207oveq12d 6338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  =  ( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 ) )
209 1m1e0 10711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  -  1 )  =  0
210 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  =  1 )
211210oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
212 iftrue 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  0 )
213209, 211, 2123eqtr4a 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
) )
214 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  =  -u
1 )
215214oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 )  =  (
-u 1  -  1 ) )
216 ax-1cn 9628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
217 negdi2 9963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( 1  +  1 )  =  (
-u 1  -  1 ) )
218216, 216, 217mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
1  +  1 )  =  ( -u 1  -  1 )
219218eqcomi 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  -  1 )  =  -u ( 1  +  1 )
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( -u 1  -  1 )  =  -u (
1  +  1 ) )
221 iffalse 3902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  -u
2 )
222 1p1e2 10756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
223222negeqi 9899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
1  +  1 )  =  -u 2
224221, 223syl6reqr 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u ( 1  +  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
) )
225215, 220, 2243eqtrd 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 )  - 
1 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 ) )
226213, 225pm2.61i 169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 )  -  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)
227208, 226syl6eq 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 ) )
228227oveq1d 6335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( N  x.  -u pi ) )  -  ( cos `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  -u 2 )  /  N ) )
229200, 228eqtrd 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N ) )
230229negeqd 9900 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  -u ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  /  N
) )
231 0cn 9666 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
232 2cn 10713 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
233232negcli 9973 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  CC
234231, 233keepel 3960 . . . . . . . . 9  |-  if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  e.  CC
235234a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  e.  CC )
236235, 25, 198divnegd 10429 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N )  =  ( -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  /  N
) )
237 neg0 9951 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 0  =  0
238212negeqd 9900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  -u
0 )
239 iftrue 3899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  =  0 )
240237, 238, 2393eqtr4a 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
241232negnegi 9975 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
242221negeqd 9900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  =  -u -u 2 )
243 iffalse 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  =  2 )
244241, 242, 2433eqtr4a 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  ->  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u 2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
245240, 244pm2.61i 169 . . . . . . . . 9  |-  -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )
246245oveq1i 6330 . . . . . . . 8  |-  ( -u if ( 2  ||  N ,  0 ,  -u
2 )  /  N
)  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  /  N )
247246a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u if ( 2  ||  N , 
0 ,  -u 2
)  /  N )  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
248230, 236, 2473eqtrd 2500 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. ( -u pi (,) 0 ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  /  N
) )
249196, 197, 2483eqtr2d 2502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
250133, 17, 19sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
251250, 156eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  1 )
252251oveq1d 6335 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
253252adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) ) )
254253, 161eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  x )
) )
255254itgeq2dv 22795 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  ( N  x.  x ) )  _d x )
2569a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
25725, 198, 113, 4, 256itgsincmulx 37937 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi )
) )  /  N
) )
258 coskpi2 37827 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( cos `  ( N  x.  pi ) )  =  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )
259201, 258syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( N  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )
260207, 259oveq12d 6338 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) ) )
261210oveq2d 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
||  N  ->  (
1  -  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )  =  ( 1  -  1 ) )
262209, 261, 2393eqtr4a 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  N  ->  (
1  -  if ( 2  ||  N , 
1 ,  -u 1
) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 ) )
263214oveq2d 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )  =  ( 1  -  -u 1
) )
264216, 216subnegi 9984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
265264a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  -u 1
)  =  ( 1  +  1 ) )
266243, 222syl6reqr 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  +  1 )  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )
267263, 265, 2663eqtrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 1  -  if ( 2  ||  N ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )
268262, 267pm2.61i 169 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  if ( 2 
||  N ,  1 ,  -u 1 ) )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )
269260, 268syl6eq 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )
270269oveq1d 6335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( N  x.  0 ) )  -  ( cos `  ( N  x.  pi ) ) )  /  N )  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  /  N
) )
271255, 257, 2703eqtrd 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N ) )
272249, 271oveq12d 6338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N )  +  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  /  N ) ) )
273231, 232keepel 3960 . . . . . 6  |-  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  e.  CC
274273a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 )  e.  CC )
275274, 274, 25, 198divdird 10454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  /  N )  +  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  /  N ) ) )
276239, 239oveq12d 6338 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
277 00id 9839 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
278276, 277syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 ) )  =  0 )
279278oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  N  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
280279adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
28125, 198div0d 10415 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  /  N
)  =  0 )
282281adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
0  /  N )  =  0 )
283 iftrue 3899 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  =  0 )
284283eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  N  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
285284adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
286280, 282, 2853eqtrd 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) ) )
287243, 243oveq12d 6338 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  =  ( 2  +  2 ) )
288 2p2e4 10761 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  2 )  =  4
289287, 288syl6eq 2512 . . . . . . . 8  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  =  4 )
290289oveq1d 6335 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  ( 4  /  N
) )
291 iffalse 3902 . . . . . . 7  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  =  ( 4  /  N ) )
292290, 291eqtr4d 2499 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
293292adantl 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 )  +  if ( 2  ||  N ,  0 , 
2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) ) )
294286, 293pm2.61dan 805 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 2  ||  N , 
0 ,  2 )  +  if ( 2 
||  N ,  0 ,  2 ) )  /  N )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
295272, 275, 2943eqtr2d 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  N
) ) )
296295oveq1d 6335 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( sin `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi )  =  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi ) )
297283oveq1d 6335 . . . . 5  |-  ( 2 
||  N  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( 0  /  pi ) )
298297adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( 0  /  pi ) )
2995, 8gtneii 9777 . . . . . 6  |-  pi  =/=  0
30042, 299div0i 10374 . . . . 5  |-  ( 0  /  pi )  =  0
301300a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  (
0  /  pi )  =  0 )
302 iftrue 3899 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )  =  0 )
303302eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( 2 
||  N  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  ( N  x.  pi )
) ) )
304303adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  0  =  if ( 2  ||  N ,  0 , 
( 4  /  ( N  x.  pi )
) ) )
305298, 301, 3043eqtrd 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
306291oveq1d 6335 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  (
( 4  /  N
)  /  pi ) )
307306adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  ( ( 4  /  N )  /  pi ) )
308 4cn 10720 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
309308a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
31042a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
311299a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  =/=  0 )
312309, 25, 310, 198, 311divdiv1d 10447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 4  /  N )  /  pi )  =  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )
313312adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
( 4  /  N
)  /  pi )  =  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) )
314 iffalse 3902 . . . . . 6  |-  ( -.  2  ||  N  ->  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) )
315314eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( -.  2  ||  N  -> 
( 4  /  ( N  x.  pi )
)  =  if ( 2  ||  N , 
0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) ) )
316315adantl 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  (
4  /  ( N  x.  pi ) )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
317307, 313, 3163eqtrd 2500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
318305, 317pm2.61dan 805 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  /  N ) )  /  pi )  =  if ( 2  ||  N ,  0 ,  ( 4  /  ( N  x.  pi ) ) ) )
319186, 296, 3183eqtrd 2500 1  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( sin `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  if ( 2 
||  N ,  0 ,  ( 4  / 
( N  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633    C_ wss 3416   ifcif 3893   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    x. cmul 9575   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707    - cmin 9891   -ucneg 9892    / cdiv 10302   NNcn 10642   2c2 10692   4c4 10694   ZZcz 10971   RR+crp 11336   (,)cioo 11669   [,]cicc 11672    mod cmo 12134   sincsin 14171   cosccos 14172   picpi 14174    || cdvds 14360   -cn->ccncf 21963   volcvol 22470   L^1cibl 22631   S.citg 22632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cc 8896  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648  ax-addf 9649  ax-mulf 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4390  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-ofr 6564  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-omul 7218  df-er 7394  df-map 7505  df-pm 7506  df-ixp 7554  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-acn 8407  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-xneg 11443  df-xadd 11444  df-xmul 11445  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13185  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-limsup 13581  df-clim 13607  df-rlim 13608  df-sum 13808  df-ef 14176  df-sin 14178  df-cos 14179  df-pi 14181  df-dvds 14361  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-starv 15260  df-sca 15261  df-vsca 15262  df-ip 15263  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-unif 15268  df-hom 15269  df-cco 15270  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-pt 15398  df-prds 15401  df-xrs 15455  df-qtop 15461  df-imas 15462  df-xps 15465  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-mulg 16731  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-psmet 19017  df-xmet 19018  df-met 19019  df-bl 19020  df-mopn 19021  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-cnfld 19026  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-lp 20207  df-perf 20208  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-haus 20386  df-cmp 20457  df-tx 20632  df-hmeo 20825  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-xms 21390  df-ms 21391  df-tms 21392  df-cncf 21965  df-ovol 22471  df-vol 22473  df-mbf 22633  df-itg1 22634  df-itg2 22635  df-ibl 22636  df-itg 22637  df-0p 22684  df-limc 22877  df-dv 22878
This theorem is referenced by:  fouriersw  38196
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