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Theorem sqwvfoura 37392
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the  A coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
sqwvfoura.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
sqwvfoura.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    T( x)    F( x)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 23145 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9918 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
41a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 0re 9628 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 negpilt0 36849 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  0
72, 5, 6ltleii 9741 . . . . . 6  |-  -u pi  <_  0
8 pipos 23147 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
95, 1, 8ltleii 9741 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
102, 1elicc2i 11646 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0  /\  0  <_  pi ) )
115, 7, 9, 10mpbir3an 1181 . . . . 5  |-  0  e.  ( -u pi [,] pi )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( -u pi [,] pi ) )
13 1red 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
1413renegcld 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  -u 1  e.  RR )
1513, 14ifcld 3930 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
1615adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
1816, 17fmptd 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1918adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  F : RR --> RR )
20 elioore 11614 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  x  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
2219, 21ffvelrnd 6012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2423nn0red 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  N  e.  RR )
2625, 21remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
2726recoscld 14090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
2822, 27remulcld 9656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  RR )
2928recnd 9654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  CC )
30 elioore 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  RR )
3130, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
3217fvmpt2 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
341a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR )
35 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
36 2rp 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
37 pirp 23148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
38 rpmulcl 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
4035, 39eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR+ )
4230, 41modcld 12042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  mod  T )  e.  RR )
43 picn 23146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
44432timesi 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
4535, 44eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( pi  +  pi )
4645oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  +  T )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
472recni 9640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
4847, 43, 43addassi 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
4943negidi 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  -u pi )  =  0
5043, 47, 49addcomli 9808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u pi  +  pi )  =  0
5150oveq1i 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( 0  +  pi )
5243addid2i 9804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
5351, 52eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  pi
5446, 48, 533eqtr2ri 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =  ( -u pi  +  T
)
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR )
56 2re 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
5756, 1remulcli 9642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5835, 57eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR )
602rexri 9678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  RR*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR* )
62 0red 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR )
6362rexrd 9675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR* )
64 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
65 ioogtlb 36910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  -u pi  <  x )
6661, 63, 64, 65syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  <  x )
6755, 30, 59, 66ltadd1dd 10205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  +  T )  <  ( x  +  T ) )
6854, 67syl5eqbr 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  +  T
) )
6958recni 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  CC
7069mulid2i 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  T )  =  T
7170eqcomi 2417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  x.  T
)
7271oveq2i 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  T ) )
7372oveq1i 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  T )  mod  T )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  T
) )  mod  T
)
7430, 59readdcld 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  pi )
7662, 34, 74, 75, 68lttrd 9779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  ( x  +  T
) )
7762, 74, 76ltled 9767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <_  ( x  +  T
) )
78 iooltub 36929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  x  <  0 )
7961, 63, 64, 78syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  0 )
8030, 62, 59, 79ltadd1dd 10205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  ( 0  +  T ) )
8169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  CC )
8281addid2d 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  +  T )  =  T )
8380, 82breqtrd 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  T )
84 modid 12061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  +  T )  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
x  +  T )  /\  ( x  +  T )  <  T
) )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
8574, 41, 77, 83, 84syl22anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
86 1zzd 10938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  1  e.  ZZ )
87 modcyc 12072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8830, 41, 86, 87syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8973, 85, 883eqtr3a 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  =  ( x  mod  T ) )
9068, 89breqtrd 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  mod  T
) )
9134, 42, 90ltnsymd 9768 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -.  ( x  mod  T )  <  pi )
9291iffalsed 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
9333, 92eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9493oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )
9594adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )
9695mpteq2dva 4483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) ) )
97 1cnd 9644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
9897negcld 9956 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
9924adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  N  e.  RR )
10030adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  x  e.  RR )
10199, 100remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
102101recoscld 14090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
103 ioossicc 11666 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0
)
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0 ) )
105 ioombl 22269 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  e. 
dom  vol
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol )
10724adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  N  e.  RR )
108 iccssre 11662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR )
1092, 5, 108mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR
110109sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  ->  x  e.  RR )
111110adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  x  e.  RR )
112107, 111remulcld 9656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
113112recoscld 14090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
114 0red 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
115 coscn 23134 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
117 ax-resscn 9581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
118109, 117sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC )
12024recnd 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
121 ssid 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
123119, 120, 122constcncfg 37054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  N )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124119, 122idcncfg 37055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  x )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125123, 124mulcncf 22153 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( N  x.  x ) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
126116, 125cncfmpt1f 21711 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
127 cniccibl 22541 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  |->  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  L^1 )
1283, 114, 126, 127syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
129104, 106, 113, 128iblss 22505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
13098, 102, 129iblmulc2 22531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
13196, 130eqeltrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
132 elioore 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
133132, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
134132, 133, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
13540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR+ )
136 0red 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR )
137136rexrd 9675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR* )
1381rexri 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR*
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR* )
140 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  ( 0 (,) pi ) )
141 ioogtlb 36910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <  x )
142137, 139, 140, 141syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  x )
143136, 132, 142ltled 9767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  x )
1441a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR )
14558a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR )
146 iooltub 36929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  <  pi )
147137, 139, 140, 146syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  pi )
148 2timesgt 36861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
14937, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
150149, 35breqtrri 4422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  <  T
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  <  T )
152132, 144, 145, 147, 151lttrd 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  T )
153 modid 12061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  T ) )  ->  ( x  mod  T )  =  x )
154132, 135, 143, 152, 153syl22anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  =  x )
155154, 147eqbrtrd 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  <  pi )
156155iftrued 3895 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
157134, 156eqtrd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  1 )
158157oveq1d 6295 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )
159158adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )
160159mpteq2dva 4483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) ) )
16124adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  RR )
162132adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
163161, 162remulcld 9656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
164163recoscld 14090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
165 ioossicc 11666 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
166165a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
167 ioombl 22269 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
168167a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
16924adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  RR )
170 iccssre 11662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1715, 1, 170mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
172171sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  RR )
173172adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  RR )
174169, 173remulcld 9656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
175174recoscld 14090 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
176171, 117sstri 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
178177, 120, 122constcncfg 37054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  N )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179177, 122idcncfg 37055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  x )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180178, 179mulcncf 22153 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( N  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181116, 180cncfmpt1f 21711 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
182 cniccibl 22541 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
183114, 4, 181, 182syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
184166, 168, 175, 183iblss 22505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
18597, 164, 184iblmulc2 22531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
186160, 185eqeltrd 2492 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
1873, 4, 12, 29, 131, 186itgsplitioo 22538 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x ) )
188187oveq1d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi ) )
18995itgeq2dv 22482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) (
-u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )
19098, 102, 129itgmulc2 22534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  S. (
-u pi (,) 0
) ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x )
191 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
192 ioosscn 36909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  CC
193192sseli 3440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  CC )
194193mul02d 9814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
195191, 194sylan9eq 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( N  x.  x )  =  0 )
196195fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  ( cos `  0 ) )
197 cos0 14096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos `  0 )  =  1
198196, 197syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
199198adantll 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  -> 
( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
200199itgeq2dv 22482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x )
201 ioovolcl 22273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR )
2022, 5, 201mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR )
204 itgconst 22519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
205106, 203, 97, 204syl3anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
206205adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
207 volioo 37128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0 )  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  ( 0  -  -u pi ) )
2082, 5, 7, 207mp3an 1328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  ( 0  -  -u pi )
209 0cn 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
210209, 43subnegi 9936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  -  -u pi )  =  ( 0  +  pi )
211208, 210, 523eqtri 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  pi
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  pi )
213212oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  ( 1  x.  pi ) )
21443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
215214mulid2d 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  pi )  =  pi )
216213, 215eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  pi )
217216adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  pi )
218200, 206, 2173eqtrd 2449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  pi )
219218oveq2d 6296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  S. (
-u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  ( -u 1  x.  pi ) )
22043mulm1i 10044 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
221220a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  pi )  =  -u pi )
222 iftrue 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  -u pi )
223222eqcomd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  -u pi  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
224223adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  -u pi  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
225219, 221, 2243eqtrd 2449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  S. (
-u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
22624adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  RR )
22723nn0ge0d 10898 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
228227adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
0  <_  N )
229 neqne 36823 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  N  =  0  ->  N  =/=  0 )
230229adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
231226, 228, 230ne0gt0d 9756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
0  <  N )
232 1cnd 9644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  1  e.  CC )
233232negcld 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u 1  e.  CC )
234233mul01d 9815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  0 )  =  0 )
235120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  N  e.  CC )
2362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u pi  e.  RR )
237 0red 9629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  e.  RR )
2387a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u pi  <_  0 )
239 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  <  N )
240239gt0ne0d 10159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  N  =/=  0 )
241235, 236, 237, 238, 240itgcoscmulx 37149 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  /  N ) )
242120mul01d 9815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
243242fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  0 ) )  =  ( sin `  0 ) )
244 sin0 14095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  0 )  =  0
245243, 244syl6eq 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  0 ) )  =  0 )
246120, 214mulneg2d 10053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  -u pi )  =  -u ( N  x.  pi ) )
247246fveq2d 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) )  =  ( sin `  -u ( N  x.  pi ) ) )
248120, 214mulcld 9648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  e.  CC )
249 sinneg 14092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  x.  pi )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( N  x.  pi ) )  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  -u ( N  x.  pi )
)  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
251247, 250eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) )  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
252245, 251oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( 0  -  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) ) )
253 0cnd 9621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
254248sincld 14076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  pi )
)  e.  CC )
255253, 254subnegd 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) ) )
256254addid2d 9817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
257252, 255, 2563eqtrd 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi )
) )
258257adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
259258oveq1d 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  /  N )  =  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  /  N ) )
26023nn0zd 11008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
261 sinkpi 23206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( N  x.  pi ) )  =  0 )
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  pi )
)  =  0 )
263262oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
264263adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
265235, 240div0d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( 0  /  N )  =  0 )
266264, 265eqtrd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  /  N
)  =  0 )
267241, 259, 2663eqtrd 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  0 )
268267oveq2d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  ( -u
1  x.  0 ) )
269240neneqd 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -.  N  =  0 )
270269iffalsed 3898 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  0 )
271234, 268, 2703eqtr4d 2455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 ) )
272231, 271syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
273225, 272pm2.61dan 794 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 ) )
274189, 190, 2733eqtr2d 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
275159itgeq2dv 22482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
27697, 164, 184itgmulc2 22534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
277164, 184itgcl 22484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x  e.  CC )
278277mulid2d 9646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x ) )  _d x )
279 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  =  0 )
280279oveq1d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
281132recnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
282281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
283282mul02d 9814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
284280, 283eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  =  0 )
285284fveq2d 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  ( cos `  0 ) )
286285, 197syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
287286adantll 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
288287itgeq2dv 22482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x )
289 ioovolcl 22273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( vol `  (
0 (,) pi ) )  e.  RR )
2905, 1, 289mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR
291 ax-1cn 9582 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
292 itgconst 22519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
293167, 290, 291, 292mp3an 1328 . . . . . . . . 9  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )
294293a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
29543mulid2i 9631 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
296 volioo 37128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  0  <_  pi )  ->  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 ) )
2975, 1, 9, 296mp3an 1328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 )
29843subid1i 9929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
-  0 )  =  pi
299297, 298eqtri 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  pi
300299oveq2i 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  ( 1  x.  pi )
301300a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  ( 1  x.  pi ) )
302 iftrue 3893 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  pi )
303295, 301, 3023eqtr4a 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
304303adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
305288, 294, 3043eqtrd 2449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
306262, 245oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
307253subidd 9957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  -  0 )  =  0 )
308306, 307eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  =  0 )
309308oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( 0  /  N
) )
310309adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
311310, 265eqtrd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  0 )
3121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  pi  e.  RR )
3139a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  <_  pi )
314235, 237, 312, 313, 240itgcoscmulx 37149 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. (
0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N ) )
315269iffalsed 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  0 )
316311, 314, 3153eqtr4d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. (
0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
317231, 316syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
318305, 317pm2.61dan 794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
319278, 318eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
320275, 276, 3193eqtr2d 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
321274, 320oveq12d 6298 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) ) )
322321oveq1d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi )  =  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  /  pi ) )
323222, 302oveq12d 6298 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  ( -u pi  +  pi ) )
324323, 50syl6eq 2461 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0 )
325 iffalse 3896 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  0 )
326 iffalse 3896 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  0 )
327325, 326oveq12d 6298 . . . . . . 7  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
328 00id 9791 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
329327, 328syl6eq 2461 . . . . . 6  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0 )
330324, 329pm2.61i 166 . . . . 5  |-  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0
331330oveq1i 6290 . . . 4  |-  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )  /  pi )  =  (
0  /  pi )
3325, 8gtneii 9730 . . . . 5  |-  pi  =/=  0
33343, 332div0i 10321 . . . 4  |-  ( 0  /  pi )  =  0
334331, 333eqtri 2433 . . 3  |-  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )  /  pi )  =  0
335334a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  /  pi )  =  0 )
336188, 322, 3353eqtrd 2449 1  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600    C_ wss 3416   ifcif 3887   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529   RR*cxr 9659    < clt 9660    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844    / cdiv 10249   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   RR+crp 11267   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587    mod cmo 12036   sincsin 14010   cosccos 14011   picpi 14013   -cn->ccncf 21674   volcvol 22169   L^1cibl 22320   S.citg 22321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324  df-ibl 22325  df-itg 22326  df-0p 22371  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  fouriersw  37395
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