Theorem sqwvfoura 38204

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the A coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfoura.t	|- T = ( 2 x. pi )
sqwvfoura.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
sqwvfoura.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
sqwvfoura	|- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   T( x)   F( x)

Proof of Theorem sqwvfoura

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 23492	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	renegcli 9955	. . . . 5 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		0re 9661	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		negpilt0 37580	. . . . . . 7 |- -u pi < 0
7	2, 5, 6	ltleii 9775	. . . . . 6 |- -u pi <_ 0
8		pipos 23494	. . . . . . 7 |- 0 < pi
9	5, 1, 8	ltleii 9775	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
10	2, 1	elicc2i 11725	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 /\ 0 <_ pi ) )
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1212	. . . . 5 |- 0 e. ( -u pi [,] pi )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( -u pi [,] pi ) )
13		1red 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> 1 e. RR )
14	13	renegcld 10067	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> -u 1 e. RR )
15	13, 14	ifcld 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
16	15	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
18	16, 17	fmptd 6061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> RR )
19	18	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> F : RR --> RR )
20		elioore 11691	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) pi ) -> x e. RR )
21	20	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. RR )
22	19, 21	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	23	nn0red 10950	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
25	24	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> N e. RR )
26	25, 21	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
27	26	recoscld 14275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
28	22, 27	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. RR )
29	28	recnd 9687	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. CC )
30		elioore 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. RR )
31	30, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
32	17	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi e. RR )
35		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( 2 x. pi )
36		2rp 11330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
37		pirp 23495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR+
38		rpmulcl 11347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
39	36, 37, 38	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
40	35, 39	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR+
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR+ )
42	30, 41	modcld 12135	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x mod T ) e. RR )
43		picn 23493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
44	43	2timesi 10753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
45	35, 44	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( pi + pi )
46	45	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u pi + T ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
47	2	recni 9673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. CC
48	47, 43, 43	addassi 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
49	43	negidi 9963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi + -u pi ) = 0
50	43, 47, 49	addcomli 9843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi + pi ) = 0
51	50	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( 0 + pi )
52	43	addid2i 9839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + pi ) = pi
53	51, 52	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = pi
54	46, 48, 53	3eqtr2ri 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi = ( -u pi + T )
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR )
56		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
57	56, 1	remulcli 9675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. RR
58	35, 57	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR )
60	2	rexri 9711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. RR*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR* )
62		0red 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
63	62	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )
64		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. ( -u pi (,) 0 ) )
65		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> -u pi < x )
66	61, 63, 64, 65	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi < x )
67	55, 30, 59, 66	ltadd1dd 10245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi + T ) < ( x + T ) )
68	54, 67	syl5eqbr 4429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x + T ) )
69	58	recni 9673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. CC
70	69	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. T ) = T
71	70	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 x. T )
72	71	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. T ) )
73	72	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + T ) mod T ) = ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T )
74	30, 59	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) e. RR )
75	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < pi )
76	62, 34, 74, 75, 68	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < ( x + T ) )
77	62, 74, 76	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 <_ ( x + T ) )
78		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x < 0 )
79	61, 63, 64, 78	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x < 0 )
80	30, 62, 59, 79	ltadd1dd 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < ( 0 + T ) )
81	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. CC )
82	81	addid2d 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 + T ) = T )
83	80, 82	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < T )
84		modid 12154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x + T ) e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( x + T ) /\ ( x + T ) < T ) ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
85	74, 41, 77, 83, 84	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
86		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 1 e. ZZ )
87		modcyc 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ T e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
88	30, 41, 86, 87	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
89	73, 85, 88	3eqtr3a 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) = ( x mod T ) )
90	68, 89	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x mod T ) )
91	34, 42, 90	ltnsymd 9801	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -. ( x mod T ) < pi )
92	91	iffalsed 3883	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
93	33, 92	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = -u 1 )
94	93	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
95	94	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
96	95	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
97		1cnd 9677	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
98	97	negcld 9992	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
99	24	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
100	30	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x e. RR )
101	99, 100	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
102	101	recoscld 14275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
103		ioossicc 11745	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 )
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 ) )
105		ioombl 22597	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol
106	105	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol )
107	24	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> N e. RR )
108		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u pi [,] 0 ) C_ RR )
109	2, 5, 108	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ RR
110	109	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi [,] 0 ) -> x e. RR )
111	110	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> x e. RR )
112	107, 111	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
113	112	recoscld 14275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
114		0red 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
115		coscn 23479	. . . . . . . . . 10 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
117		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
118	109, 117	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ CC
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] 0 ) C_ CC )
120	24	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
121		ssid 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
123	119, 120, 122	constcncfg 37845	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> N ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124	119, 122	idcncfg 37846	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> x ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125	123, 124	mulcncf 22476	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
126	116, 125	cncfmpt1f 22023	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
127		cniccibl 22877	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
128	3, 114, 126, 127	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
129	104, 106, 113, 128	iblss 22841	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
130	98, 102, 129	iblmulc2 22867	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
131	96, 130	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
132		elioore 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
133	132, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
134	132, 133, 32	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
135	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR+ )
136		0red 9662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR )
137	136	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR* )
138	1	rexri 9711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR*
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR* )
140		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 (,) pi ) )
141		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 < x )
142	137, 139, 140, 141	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < x )
143	136, 132, 142	ltled 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ x )
144	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR )
145	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR )
146		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x < pi )
147	137, 139, 140, 146	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < pi )
148		2timesgt 37590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi e. RR+ -> pi < ( 2 x. pi ) )
149	37, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi < ( 2 x. pi )
150	149, 35	breqtrri 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi < T
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi < T )
152	132, 144, 145, 147, 151	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < T )
153		modid 12154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < T ) ) -> ( x mod T ) = x )
154	132, 135, 143, 152, 153	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) = x )
155	154, 147	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) < pi )
156	155	iftrued 3880	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
157	134, 156	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = 1 )
158	157	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
159	158	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
160	159	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
161	24	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. RR )
162	132	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. RR )
163	161, 162	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
164	163	recoscld 14275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
165		ioossicc 11745	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
167		ioombl 22597	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
168	167	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
169	24	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. RR )
170		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
171	5, 1, 170	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
172	171	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. RR )
173	172	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. RR )
174	169, 173	remulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
175	174	recoscld 14275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
176	171, 117	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
178	177, 120, 122	constcncfg 37845	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> N ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179	177, 122	idcncfg 37846	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180	178, 179	mulcncf 22476	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181	116, 180	cncfmpt1f 22023	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
182		cniccibl 22877	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
183	114, 4, 181, 182	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
184	166, 168, 175, 183	iblss 22841	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
185	97, 164, 184	iblmulc2 22867	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
186	160, 185	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
187	3, 4, 12, 29, 131, 186	itgsplitioo 22874	. . 3 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) )
188	187	oveq1d 6323	. 2 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) )
189	95	itgeq2dv 22818	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
190	98, 102, 129	itgmulc2 22870	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
191		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
192		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ CC
193	192	sseli 3414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. CC )
194	193	mul02d 9849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
195	191, 194	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
196	195	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
197		cos0 14281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` 0 ) = 1
198	196, 197	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
199	198	adantll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
200	199	itgeq2dv 22818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x )
201		ioovolcl 22601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
202	2, 5, 201	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
204		itgconst 22855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol /\ ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
205	106, 203, 97, 204	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
206	205	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
207		volioo 37922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi ) )
208	2, 5, 7, 207	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi )
209		0cn 9653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
210	209, 43	subnegi 9973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 - -u pi ) = ( 0 + pi )
211	208, 210, 52	3eqtri 2497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi
212	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi )
213	212	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
214	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. CC )
215	214	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
216	213, 215	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
217	216	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
218	200, 206, 217	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = pi )
219	218	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. pi ) )
220	43	mulm1i 10084	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
221	220	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. pi ) = -u pi )
222		iftrue 3878	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = -u pi )
223	222	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
224	223	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
225	219, 221, 224	3eqtrd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
226	24	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N e. RR )
227	23	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ N )
228	227	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 <_ N )
229		neqne 2651	. . . . . . . . 9 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
230	229	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
231	226, 228, 230	ne0gt0d 9789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 < N )
232		1cnd 9677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 1 e. CC )
233	232	negcld 9992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u 1 e. CC )
234	233	mul01d 9850	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. 0 ) = 0 )
235	120	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N e. CC )
236	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi e. RR )
237		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 e. RR )
238	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi <_ 0 )
239		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 < N )
240	239	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N =/= 0 )
241	235, 236, 237, 238, 240	itgcoscmulx 37943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) )
242	120	mul01d 9850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. 0 ) = 0 )
243	242	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = ( sin ` 0 ) )
244		sin0 14280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sin ` 0 ) = 0
245	243, 244	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = 0 )
246	120, 214	mulneg2d 10093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. -u pi ) = -u ( N x. pi ) )
247	246	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = ( sin ` -u ( N x. pi ) ) )
248	120, 214	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. pi ) e. CC )
249		sinneg 14277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N x. pi ) e. CC -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
250	248, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
251	247, 250	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
252	245, 251	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
253		0cnd 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. CC )
254	248	sincld 14261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) e. CC )
255	253, 254	subnegd 10012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
256	254	addid2d 9852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
257	252, 255, 256	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
258	257	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
259	258	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) = ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) )
260	23	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
261		sinkpi 23553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
263	262	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
264	263	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
265	235, 240	div0d 10404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( 0 / N ) = 0 )
266	264, 265	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = 0 )
267	241, 259, 266	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = 0 )
268	267	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. 0 ) )
269	240	neneqd 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -. N = 0 )
270	269	iffalsed 3883	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
271	234, 268, 270	3eqtr4d 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
272	231, 271	syldan 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
273	225, 272	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
274	189, 190, 273	3eqtr2d 2511	. . . 4 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
275	159	itgeq2dv 22818	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
276	97, 164, 184	itgmulc2 22870	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
277	164, 184	itgcl 22820	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x e. CC )
278	277	mulid2d 9679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x )
279		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N = 0 )
280	279	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
281	132	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
282	281	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. CC )
283	282	mul02d 9849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
284	280, 283	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
285	284	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
286	285, 197	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
287	286	adantll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
288	287	itgeq2dv 22818	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x )
289		ioovolcl 22601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR )
290	5, 1, 289	mp2an 686	. . . . . . . . . 10 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR
291		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
292		itgconst 22855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 (,) pi ) e. dom vol /\ ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
293	167, 290, 291, 292	mp3an 1390	. . . . . . . . 9 |- S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) )
294	293	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
295	43	mulid2i 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
296		volioo 37922	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ 0 <_ pi ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 ) )
297	5, 1, 9, 296	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 )
298	43	subid1i 9966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi - 0 ) = pi
299	297, 298	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = pi
300	299	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi )
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
302		iftrue 3878	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = pi )
303	295, 301, 302	3eqtr4a 2531	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
304	303	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
305	288, 294, 304	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
306	262, 245	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
307	253	subidd 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - 0 ) = 0 )
308	306, 307	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = 0 )
309	308	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
310	309	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
311	310, 265	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = 0 )
312	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> pi e. RR )
313	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 <_ pi )
314	235, 237, 312, 313, 240	itgcoscmulx 37943	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) )
315	269	iffalsed 3883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
316	311, 314, 315	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
317	231, 316	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
318	305, 317	pm2.61dan 808	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
319	278, 318	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
320	275, 276, 319	3eqtr2d 2511	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
321	274, 320	oveq12d 6326	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) = ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) )
322	321	oveq1d 6323	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) = ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) )
323	222, 302	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( -u pi + pi ) )
324	323, 50	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
325		iffalse 3881	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
326		iffalse 3881	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
327	325, 326	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
328		00id 9826	. . . . . . 7 |- ( 0 + 0 ) = 0
329	327, 328	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
330	324, 329	pm2.61i 169	. . . . 5 |- ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0
331	330	oveq1i 6318	. . . 4 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = ( 0 / pi )
332	5, 8	gtneii 9764	. . . . 5 |- pi =/= 0
333	43, 332	div0i 10363	. . . 4 |- ( 0 / pi ) = 0
334	331, 333	eqtri 2493	. . 3 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0
335	334	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0 )
336	188, 322, 335	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   mod cmo 12129   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

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