Theorem sqwvfoura 32257

Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the A coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqwvfoura.t	|- T = ( 2 x. pi )
sqwvfoura.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
sqwvfoura.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
sqwvfoura	|- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   T( x)   F( x)

Proof of Theorem sqwvfoura

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 23068	. . . . . 6 |- pi e. RR
2	1	renegcli 9899	. . . . 5 |- -u pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u pi e. RR )
4	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		0re 9613	. . . . . 6 |- 0 e. RR
6		negpilt0 31708	. . . . . . 7 |- -u pi < 0
7	2, 5, 6	ltleii 9724	. . . . . 6 |- -u pi <_ 0
8		pipos 23070	. . . . . . 7 |- 0 < pi
9	5, 1, 8	ltleii 9724	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
10	2, 1	elicc2i 11615	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 /\ 0 <_ pi ) )
11	5, 7, 9, 10	mpbir3an 1178	. . . . 5 |- 0 e. ( -u pi [,] pi )
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( -u pi [,] pi ) )
13		1red 9628	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> 1 e. RR )
14	13	renegcld 10007	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> -u 1 e. RR )
15	13, 14	ifcld 3987	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
16	15	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
17		sqwvfoura.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
18	16, 17	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> RR )
19	18	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> F : RR --> RR )
20		elioore 11584	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) pi ) -> x e. RR )
21	20	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. RR )
22	19, 21	ffvelrnd 6033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
23		sqwvfoura.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN0 )
24	23	nn0red 10874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
25	24	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> N e. RR )
26	25, 21	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
27	26	recoscld 13982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
28	22, 27	remulcld 9641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. RR )
29	28	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. CC )
30		elioore 11584	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. RR )
31	30, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
32	17	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
34	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi e. RR )
35		sqwvfoura.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( 2 x. pi )
36		2rp 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
37		pirp 23071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR+
38		rpmulcl 11266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
39	36, 37, 38	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
40	35, 39	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . . 13 |- T e. RR+
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR+ )
42	30, 41	modcld 12005	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x mod T ) e. RR )
43		picn 23069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. CC
44	43	2timesi 10677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
45	35, 44	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( pi + pi )
46	45	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u pi + T ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
47	2	recni 9625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. CC
48	47, 43, 43	addassi 9621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( -u pi + ( pi + pi ) )
49	43	negidi 9907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi + -u pi ) = 0
50	43, 47, 49	addcomli 9789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi + pi ) = 0
51	50	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = ( 0 + pi )
52	43	addid2i 9785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + pi ) = pi
53	51, 52	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u pi + pi ) + pi ) = pi
54	46, 48, 53	3eqtr2ri 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi = ( -u pi + T )
55	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR )
56		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
57	56, 1	remulcli 9627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. pi ) e. RR
58	35, 57	eqeltri 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. RR )
60	2	rexri 9663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. RR*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi e. RR* )
62		0red 9614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR )
63	62	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 e. RR* )
64		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. ( -u pi (,) 0 ) )
65		ioogtlb 31774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> -u pi < x )
66	61, 63, 64, 65	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -u pi < x )
67	55, 30, 59, 66	ltadd1dd 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi + T ) < ( x + T ) )
68	54, 67	syl5eqbr 4489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x + T ) )
69	58	recni 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T e. CC
70	69	mulid2i 9616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. T ) = T
71	70	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ( 1 x. T )
72	71	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x + T ) = ( x + ( 1 x. T ) )
73	72	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x + T ) mod T ) = ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T )
74	30, 59	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) e. RR )
75	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < pi )
76	62, 34, 74, 75, 68	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 < ( x + T ) )
77	62, 74, 76	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 0 <_ ( x + T ) )
78		iooltub 31794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u pi e. RR* /\ 0 e. RR* /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x < 0 )
79	61, 63, 64, 78	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x < 0 )
80	30, 62, 59, 79	ltadd1dd 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < ( 0 + T ) )
81	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> T e. CC )
82	81	addid2d 9798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 + T ) = T )
83	80, 82	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) < T )
84		modid 12023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x + T ) e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( x + T ) /\ ( x + T ) < T ) ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
85	74, 41, 77, 83, 84	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + T ) mod T ) = ( x + T ) )
86		1zzd 10916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> 1 e. ZZ )
87		modcyc 12034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ T e. RR+ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
88	30, 41, 86, 87	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( x + ( 1 x. T ) ) mod T ) = ( x mod T ) )
89	73, 85, 88	3eqtr3a 2522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( x + T ) = ( x mod T ) )
90	68, 89	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> pi < ( x mod T ) )
91	34, 42, 90	ltnsymd 9751	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> -. ( x mod T ) < pi )
92	91	iffalsed 3955	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
93	33, 92	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( F ` x ) = -u 1 )
94	93	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
95	94	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
96	95	mpteq2dva 4543	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
97		1cnd 9629	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
98	97	negcld 9937	. . . . . 6 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
99	24	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> N e. RR )
100	30	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> x e. RR )
101	99, 100	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
102	101	recoscld 13982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
103		ioossicc 11635	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 )
104	103	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) C_ ( -u pi [,] 0 ) )
105		ioombl 22192	. . . . . . . 8 |- ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol
106	105	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol )
107	24	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> N e. RR )
108		iccssre 11631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u pi [,] 0 ) C_ RR )
109	2, 5, 108	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ RR
110	109	sseli 3495	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( -u pi [,] 0 ) -> x e. RR )
111	110	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> x e. RR )
112	107, 111	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
113	112	recoscld 13982	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( -u pi [,] 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
114		0red 9614	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
115		coscn 23057	. . . . . . . . . 10 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
117		ax-resscn 9566	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
118	109, 117	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u pi [,] 0 ) C_ CC
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] 0 ) C_ CC )
120	24	recnd 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
121		ssid 3518	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
123	119, 120, 122	constcncfg 31919	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> N ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124	119, 122	idcncfg 31920	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> x ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125	123, 124	mulcncf 22076	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
126	116, 125	cncfmpt1f 21634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
127		cniccibl 22464	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
128	3, 114, 126, 127	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi [,] 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
129	104, 106, 113, 128	iblss 22428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
130	98, 102, 129	iblmulc2 22454	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
131	96, 130	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( -u pi (,) 0 ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
132		elioore 11584	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
133	132, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. RR )
134	132, 133, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
135	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR+ )
136		0red 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR )
137	136	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 e. RR* )
138	1	rexri 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR*
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR* )
140		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 (,) pi ) )
141		ioogtlb 31774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 < x )
142	137, 139, 140, 141	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < x )
143	136, 132, 142	ltled 9750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ x )
144	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi e. RR )
145	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> T e. RR )
146		iooltub 31794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x < pi )
147	137, 139, 140, 146	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < pi )
148		2timesgt 31721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi e. RR+ -> pi < ( 2 x. pi ) )
149	37, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi < ( 2 x. pi )
150	149, 35	breqtrri 4481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi < T
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> pi < T )
152	132, 144, 145, 147, 151	lttrd 9760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x < T )
153		modid 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < T ) ) -> ( x mod T ) = x )
154	132, 135, 143, 152, 153	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) = x )
155	154, 147	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( x mod T ) < pi )
156	155	iftrued 3952	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
157	134, 156	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( F ` x ) = 1 )
158	157	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
159	158	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) = ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) )
160	159	mpteq2dva 4543	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) )
161	24	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. RR )
162	132	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. RR )
163	161, 162	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
164	163	recoscld 13982	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
165		ioossicc 11635	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
166	165	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
167		ioombl 22192	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
168	167	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
169	24	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. RR )
170		iccssre 11631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
171	5, 1, 170	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
172	171	sseli 3495	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. RR )
173	172	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. RR )
174	169, 173	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. x ) e. RR )
175	174	recoscld 13982	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) e. RR )
176	171, 117	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
178	177, 120, 122	constcncfg 31919	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> N ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179	177, 122	idcncfg 31920	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> x ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180	178, 179	mulcncf 22076	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( N x. x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181	116, 180	cncfmpt1f 21634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
182		cniccibl 22464	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
183	114, 4, 181, 182	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
184	166, 168, 175, 183	iblss 22428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( cos ` ( N x. x ) ) ) e. L^1 )
185	97, 164, 184	iblmulc2 22454	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
186	160, 185	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) ) e. L^1 )
187	3, 4, 12, 29, 131, 186	itgsplitioo 22461	. . 3 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) )
188	187	oveq1d 6311	. 2 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) )
189	95	itgeq2dv 22405	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
190	98, 102, 129	itgmulc2 22457	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( -u pi (,) 0 ) ( -u 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
191		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 0 -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
192		ioosscn 31773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u pi (,) 0 ) C_ CC
193	192	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> x e. CC )
194	193	mul02d 9795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
195	191, 194	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
196	195	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
197		cos0 13988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` 0 ) = 1
198	196, 197	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
199	198	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( -u pi (,) 0 ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
200	199	itgeq2dv 22405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x )
201		ioovolcl 22196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
202	2, 5, 201	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR )
204		itgconst 22442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u pi (,) 0 ) e. dom vol /\ ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
205	106, 203, 97, 204	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
206	205	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
207		volioo 31993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR /\ 0 e. RR /\ -u pi <_ 0 ) -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi ) )
208	2, 5, 7, 207	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = ( 0 - -u pi )
209		0cn 9605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
210	209, 43	subnegi 9917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 - -u pi ) = ( 0 + pi )
211	208, 210, 52	3eqtri 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi
212	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) = pi )
213	212	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
214	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. CC )
215	214	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
216	213, 215	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
217	216	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( -u pi (,) 0 ) ) ) = pi )
218	200, 206, 217	3eqtrd 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = pi )
219	218	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. pi ) )
220	43	mulm1i 10022	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
221	220	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. pi ) = -u pi )
222		iftrue 3950	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = -u pi )
223	222	eqcomd 2465	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
224	223	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> -u pi = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
225	219, 221, 224	3eqtrd 2502	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
226	24	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N e. RR )
227	23	nn0ge0d 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ N )
228	227	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 <_ N )
229		neqne 31680	. . . . . . . . 9 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
230	229	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> N =/= 0 )
231	226, 228, 230	ne0gt0d 9739	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> 0 < N )
232		1cnd 9629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 1 e. CC )
233	232	negcld 9937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u 1 e. CC )
234	233	mul01d 9796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. 0 ) = 0 )
235	120	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N e. CC )
236	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi e. RR )
237		0red 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 e. RR )
238	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -u pi <_ 0 )
239		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 < N )
240	239	gt0ne0d 10138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> N =/= 0 )
241	235, 236, 237, 238, 240	itgcoscmulx 32014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) )
242	120	mul01d 9796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. 0 ) = 0 )
243	242	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = ( sin ` 0 ) )
244		sin0 13987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sin ` 0 ) = 0
245	243, 244	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. 0 ) ) = 0 )
246	120, 214	mulneg2d 10031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. -u pi ) = -u ( N x. pi ) )
247	246	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = ( sin ` -u ( N x. pi ) ) )
248	120, 214	mulcld 9633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N x. pi ) e. CC )
249		sinneg 13984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N x. pi ) e. CC -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
250	248, 249	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( sin ` -u ( N x. pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
251	247, 250	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. -u pi ) ) = -u ( sin ` ( N x. pi ) ) )
252	245, 251	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
253		0cnd 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. CC )
254	248	sincld 13968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) e. CC )
255	253, 254	subnegd 9957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - -u ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) )
256	254	addid2d 9798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 + ( sin ` ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
257	252, 255, 256	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
258	257	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) = ( sin ` ( N x. pi ) ) )
259	258	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. 0 ) ) - ( sin ` ( N x. -u pi ) ) ) / N ) = ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) )
260	23	nn0zd 10988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
261		sinkpi 23129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
262	260, 261	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sin ` ( N x. pi ) ) = 0 )
263	262	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
264	263	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
265	235, 240	div0d 10340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( 0 / N ) = 0 )
266	264, 265	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) / N ) = 0 )
267	241, 259, 266	3eqtrd 2502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = 0 )
268	267	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = ( -u 1 x. 0 ) )
269	240	neneqd 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> -. N = 0 )
270	269	iffalsed 3955	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
271	234, 268, 270	3eqtr4d 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
272	231, 271	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
273	225, 272	pm2.61dan 791	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u 1 x. S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
274	189, 190, 273	3eqtr2d 2504	. . . 4 |- ( ph -> S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , -u pi , 0 ) )
275	159	itgeq2dv 22405	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
276	97, 164, 184	itgmulc2 22457	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( 1 x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x )
277	164, 184	itgcl 22407	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x e. CC )
278	277	mulid2d 9631	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x )
279		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N = 0 )
280	279	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = ( 0 x. x ) )
281	132	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
282	281	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. CC )
283	282	mul02d 9795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
284	280, 283	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. x ) = 0 )
285	284	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = ( cos ` 0 ) )
286	285, 197	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
287	286	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` ( N x. x ) ) = 1 )
288	287	itgeq2dv 22405	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x )
289		ioovolcl 22196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR )
290	5, 1, 289	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR
291		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
292		itgconst 22442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 (,) pi ) e. dom vol /\ ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
293	167, 290, 291, 292	mp3an 1324	. . . . . . . . 9 |- S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) )
294	293	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) 1 _d x = ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) )
295	43	mulid2i 9616	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
296		volioo 31993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ 0 <_ pi ) -> ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 ) )
297	5, 1, 9, 296	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = ( pi - 0 )
298	43	subid1i 9910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi - 0 ) = pi
299	297, 298	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) = pi
300	299	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi )
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = ( 1 x. pi ) )
302		iftrue 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = pi )
303	295, 301, 302	3eqtr4a 2524	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
304	303	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( 1 x. ( vol ` ( 0 (,) pi ) ) ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
305	288, 294, 304	3eqtrd 2502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
306	262, 245	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
307	253	subidd 9938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 - 0 ) = 0 )
308	306, 307	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) = 0 )
309	308	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
310	309	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = ( 0 / N ) )
311	310, 265	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) = 0 )
312	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> pi e. RR )
313	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> 0 <_ pi )
314	235, 237, 312, 313, 240	itgcoscmulx 32014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = ( ( ( sin ` ( N x. pi ) ) - ( sin ` ( N x. 0 ) ) ) / N ) )
315	269	iffalsed 3955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
316	311, 314, 315	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 0 < N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
317	231, 316	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. N = 0 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
318	305, 317	pm2.61dan 791	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
319	278, 318	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. S. ( 0 (,) pi ) ( cos ` ( N x. x ) ) _d x ) = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
320	275, 276, 319	3eqtr2d 2504	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x = if ( N = 0 , pi , 0 ) )
321	274, 320	oveq12d 6314	. . 3 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) = ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) )
322	321	oveq1d 6311	. 2 |- ( ph -> ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x + S. ( 0 (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x ) / pi ) = ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) )
323	222, 302	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( -u pi + pi ) )
324	323, 50	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
325		iffalse 3953	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , -u pi , 0 ) = 0 )
326		iffalse 3953	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> if ( N = 0 , pi , 0 ) = 0 )
327	325, 326	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
328		00id 9772	. . . . . . 7 |- ( 0 + 0 ) = 0
329	327, 328	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( -. N = 0 -> ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0 )
330	324, 329	pm2.61i 164	. . . . 5 |- ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) = 0
331	330	oveq1i 6306	. . . 4 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = ( 0 / pi )
332	5, 8	gtneii 9713	. . . . 5 |- pi =/= 0
333	43, 332	div0i 10299	. . . 4 |- ( 0 / pi ) = 0
334	331, 333	eqtri 2486	. . 3 |- ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0
335	334	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( if ( N = 0 , -u pi , 0 ) + if ( N = 0 , pi , 0 ) ) / pi ) = 0 )
336	188, 322, 335	3eqtrd 2502	1 |- ( ph -> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( N x. x ) ) ) _d x / pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   mod cmo 11999   sincsin 13902   cosccos 13903   picpi 13905   -cn->ccncf 21597   volcvol 22092   L^1cibl 22243   S.citg 22244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612  df-ef 13906  df-sin 13908  df-cos 13909  df-pi 13911  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-hom 14827  df-cco 14828  df-rest 14931  df-topn 14932  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-topgen 14952  df-pt 14953  df-prds 14956  df-xrs 15010  df-qtop 15015  df-imas 15016  df-xps 15018  df-mre 15094  df-mrc 15095  df-acs 15097  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-mulg 16278  df-cntz 16573  df-cmn 17018  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-fbas 18634  df-fg 18635  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-perf 19856  df-cn 19946  df-cnp 19947  df-haus 20034  df-cmp 20105  df-tx 20280  df-hmeo 20473  df-fil 20564  df-fm 20656  df-flim 20657  df-flf 20658  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042  df-cncf 21599  df-ovol 22093  df-vol 22094  df-mbf 22245  df-itg1 22246  df-itg2 22247  df-ibl 22248  df-itg 22249  df-0p 22294  df-limc 22487  df-dv 22488

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