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Theorem sqwvfoura 38204
Description: Fourier coefficients for the square wave function. Since the square function is an odd function, there is no contribution from the  A coefficients. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sqwvfoura.t  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
sqwvfoura.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
sqwvfoura.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
sqwvfoura  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  0 )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    T( x)    F( x)

Proof of Theorem sqwvfoura
StepHypRef Expression
1 pire 23492 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9955 . . . . 5  |-  -u pi  e.  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
41a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 0re 9661 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6 negpilt0 37580 . . . . . . 7  |-  -u pi  <  0
72, 5, 6ltleii 9775 . . . . . 6  |-  -u pi  <_  0
8 pipos 23494 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
95, 1, 8ltleii 9775 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
102, 1elicc2i 11725 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( 0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0  /\  0  <_  pi ) )
115, 7, 9, 10mpbir3an 1212 . . . . 5  |-  0  e.  ( -u pi [,] pi )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( -u pi [,] pi ) )
13 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
1413renegcld 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  -u 1  e.  RR )
1513, 14ifcld 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
1615adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  mod  T
)  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
17 sqwvfoura.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
1816, 17fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1918adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  F : RR --> RR )
20 elioore 11691 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  x  e.  RR )
2120adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
2219, 21ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
23 sqwvfoura.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2423nn0red 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2524adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  N  e.  RR )
2625, 21remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
2726recoscld 14275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
2822, 27remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  RR )
2928recnd 9687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  CC )
30 elioore 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  RR )
3130, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
3217fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
) )
3330, 31, 32syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
341a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  e.  RR )
35 sqwvfoura.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( 2  x.  pi )
36 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
37 pirp 23495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR+
38 rpmulcl 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
3936, 37, 38mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
4035, 39eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e.  RR+
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR+ )
4230, 41modcld 12135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  mod  T )  e.  RR )
43 picn 23493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  CC
44432timesi 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
4535, 44eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( pi  +  pi )
4645oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  +  T )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
472recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
4847, 43, 43addassi 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
4943negidi 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  +  -u pi )  =  0
5043, 47, 49addcomli 9843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u pi  +  pi )  =  0
5150oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  ( 0  +  pi )
5243addid2i 9839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  pi )  =  pi
5351, 52eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u pi  +  pi )  +  pi )  =  pi
5446, 48, 533eqtr2ri 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  =  ( -u pi  +  T
)
552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR )
56 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
5756, 1remulcli 9675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
5835, 57eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  RR )
602rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u pi  e.  RR*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  e.  RR* )
62 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR )
6362rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  e.  RR* )
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )
65 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  -u pi  <  x )
6661, 63, 64, 65syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -u pi  <  x )
6755, 30, 59, 66ltadd1dd 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( -u pi  +  T )  <  ( x  +  T ) )
6854, 67syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  +  T
) )
6958recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  e.  CC
7069mulid2i 9664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  T )  =  T
7170eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( 1  x.  T
)
7271oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  +  T )  =  ( x  +  ( 1  x.  T ) )
7372oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +  T )  mod  T )  =  ( ( x  +  ( 1  x.  T
) )  mod  T
)
7430, 59readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  e.  RR )
758a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  pi )
7662, 34, 74, 75, 68lttrd 9813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <  ( x  +  T
) )
7762, 74, 76ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  0  <_  ( x  +  T
) )
78 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  x  <  0 )
7961, 63, 64, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  <  0 )
8030, 62, 59, 79ltadd1dd 10245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  ( 0  +  T ) )
8169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  T  e.  CC )
8281addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  +  T )  =  T )
8380, 82breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  <  T )
84 modid 12154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  +  T )  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
x  +  T )  /\  ( x  +  T )  <  T
) )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
8574, 41, 77, 83, 84syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  T
)  mod  T )  =  ( x  +  T ) )
86 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  1  e.  ZZ )
87 modcyc 12165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8830, 41, 86, 87syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( x  +  ( 1  x.  T ) )  mod  T )  =  ( x  mod  T ) )
8973, 85, 883eqtr3a 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
x  +  T )  =  ( x  mod  T ) )
9068, 89breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  pi  <  ( x  mod  T
) )
9134, 42, 90ltnsymd 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  -.  ( x  mod  T )  <  pi )
9291iffalsed 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  -u 1
)
9333, 92eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  ( F `  x )  =  -u 1 )
9493oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )
9594adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )
9695mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  =  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) ) )
97 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
9897negcld 9992 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
9924adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  N  e.  RR )
10030adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  x  e.  RR )
10199, 100remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
102101recoscld 14275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0
) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
103 ioossicc 11745 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0
)
104103a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  C_  ( -u pi [,] 0 ) )
105 ioombl 22597 . . . . . . . 8  |-  ( -u pi (,) 0 )  e. 
dom  vol
106105a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol )
10724adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  N  e.  RR )
108 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR )
1092, 5, 108mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  RR
110109sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  ->  x  e.  RR )
111110adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  x  e.  RR )
112107, 111remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
113112recoscld 14275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( -u pi [,] 0
) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
114 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
115 coscn 23479 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
117 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
118109, 117sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u pi [,] 0 )  C_  CC )
12024recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
121 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
123119, 120, 122constcncfg 37845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  N )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
124119, 122idcncfg 37846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  x )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
125123, 124mulcncf 22476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( N  x.  x ) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
126116, 125cncfmpt1f 22023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )
127 cniccibl 22877 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( -u pi [,] 0 ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( -u pi [,] 0 )  |->  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  e.  L^1 )
1283, 114, 126, 127syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi [,] 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
129104, 106, 113, 128iblss 22841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
13098, 102, 129iblmulc2 22867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
13196, 130eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
-u pi (,) 0
)  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) )  e.  L^1 )
132 elioore 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
133132, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  e.  RR )
134132, 133, 32syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  if ( ( x  mod  T )  < 
pi ,  1 , 
-u 1 ) )
13540a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR+ )
136 0red 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR )
137136rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  e.  RR* )
1381rexri 9711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR*
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR* )
140 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  ( 0 (,) pi ) )
141 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <  x )
142137, 139, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  x )
143136, 132, 142ltled 9800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  x )
1441a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  e.  RR )
14558a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  T  e.  RR )
146 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  <  pi )
147137, 139, 140, 146syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  pi )
148 2timesgt 37590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( pi  e.  RR+  ->  pi  <  ( 2  x.  pi ) )
14937, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  <  ( 2  x.  pi )
150149, 35breqtrri 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  <  T
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  pi  <  T )
152132, 144, 145, 147, 151lttrd 9813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  <  T )
153 modid 12154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  T  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  T ) )  ->  ( x  mod  T )  =  x )
154132, 135, 143, 152, 153syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  =  x )
155154, 147eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
x  mod  T )  <  pi )
156155iftrued 3880 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  if ( ( x  mod  T )  <  pi , 
1 ,  -u 1
)  =  1 )
157134, 156eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( F `  x )  =  1 )
158157oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )
159158adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  =  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )
160159mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) ) ) )
16124adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  RR )
162132adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  RR )
163161, 162remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
164163recoscld 14275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
165 ioossicc 11745 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
166165a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
167 ioombl 22597 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
168167a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
16924adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  RR )
170 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1715, 1, 170mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
172171sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  RR )
173172adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  RR )
174169, 173remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  x )  e.  RR )
175174recoscld 14275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x ) )  e.  RR )
176171, 117sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
177176a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
178177, 120, 122constcncfg 37845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  N )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
179177, 122idcncfg 37846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  x )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
180178, 179mulcncf 22476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( N  x.  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
181116, 180cncfmpt1f 22023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
182 cniccibl 22877 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
183114, 4, 181, 182syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
184166, 168, 175, 183iblss 22841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  e.  L^1 )
18597, 164, 184iblmulc2 22867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
186160, 185eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) ) )  e.  L^1 )
1873, 4, 12, 29, 131, 186itgsplitioo 22874 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x ) )
188187oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  ( ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi ) )
18995itgeq2dv 22818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) (
-u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )
19098, 102, 129itgmulc2 22870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  S. (
-u pi (,) 0
) ( -u 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x )
191 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  0  ->  ( N  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
192 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u pi (,) 0 )  C_  CC
193192sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  x  e.  CC )
194193mul02d 9849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u pi (,) 0 )  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
195191, 194sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( N  x.  x )  =  0 )
196195fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  ( cos `  0 ) )
197 cos0 14281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos `  0 )  =  1
198196, 197syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
199198adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  ( -u pi (,) 0 ) )  -> 
( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
200199itgeq2dv 22818 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x )
201 ioovolcl 22601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR )
2022, 5, 201mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR )
204 itgconst 22855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u pi (,) 0 )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
205106, 203, 97, 204syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
206205adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) ) )
207 volioo 37922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  -u pi  <_  0 )  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  ( 0  -  -u pi ) )
2082, 5, 7, 207mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  ( 0  -  -u pi )
209 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
210209, 43subnegi 9973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  -  -u pi )  =  ( 0  +  pi )
211208, 210, 523eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  pi
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) )  =  pi )
213212oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  ( 1  x.  pi ) )
21443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
215214mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  pi )  =  pi )
216213, 215eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  pi )
217216adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( vol `  ( -u pi (,) 0 ) ) )  =  pi )
218200, 206, 2173eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  pi )
219218oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  S. (
-u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  ( -u 1  x.  pi ) )
22043mulm1i 10084 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
221220a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  pi )  =  -u pi )
222 iftrue 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  -u pi )
223222eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  -u pi  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
224223adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  -u pi  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
225219, 221, 2243eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( -u 1  x.  S. (
-u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
22624adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  e.  RR )
22723nn0ge0d 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
228227adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
0  <_  N )
229 neqne 2651 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  N  =  0  ->  N  =/=  0 )
230229adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  N  =/=  0 )
231226, 228, 230ne0gt0d 9789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
0  <  N )
232 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  1  e.  CC )
233232negcld 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u 1  e.  CC )
234233mul01d 9850 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  0 )  =  0 )
235120adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  N  e.  CC )
2362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u pi  e.  RR )
237 0red 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  e.  RR )
2387a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -u pi  <_  0 )
239 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  <  N )
240239gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  N  =/=  0 )
241235, 236, 237, 238, 240itgcoscmulx 37943 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  /  N ) )
242120mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  0 )  =  0 )
243242fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  0 ) )  =  ( sin `  0 ) )
244 sin0 14280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sin `  0 )  =  0
245243, 244syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  0 ) )  =  0 )
246120, 214mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  -u pi )  =  -u ( N  x.  pi ) )
247246fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) )  =  ( sin `  -u ( N  x.  pi ) ) )
248120, 214mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  x.  pi )  e.  CC )
249 sinneg 14277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  x.  pi )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( N  x.  pi ) )  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
250248, 249syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sin `  -u ( N  x.  pi )
)  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
251247, 250eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) )  =  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
252245, 251oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( 0  -  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) ) )
253 0cnd 9654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
254248sincld 14261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  pi )
)  e.  CC )
255253, 254subnegd 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( 0  +  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) ) )
256254addid2d 9852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
257252, 255, 2563eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi )
) )
258257adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  =  ( sin `  ( N  x.  pi ) ) )
259258oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  0 ) )  -  ( sin `  ( N  x.  -u pi ) ) )  /  N )  =  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  /  N ) )
26023nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
261 sinkpi 23553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( N  x.  pi ) )  =  0 )
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sin `  ( N  x.  pi )
)  =  0 )
263262oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
264263adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  /  N
)  =  ( 0  /  N ) )
265235, 240div0d 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( 0  /  N )  =  0 )
266264, 265eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  /  N
)  =  0 )
267241, 259, 2663eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  0 )
268267oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  ( -u
1  x.  0 ) )
269240neneqd 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  -.  N  =  0 )
270269iffalsed 3883 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  0 )
271234, 268, 2703eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 ) )
272231, 271syldan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  -> 
( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0
) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
273225, 272pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S. ( -u pi (,) 0 ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x )  =  if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 ) )
274189, 190, 2733eqtr2d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 ) )
275159itgeq2dv 22818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
27697, 164, 184itgmulc2 22870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( 1  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )
277164, 184itgcl 22820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x  e.  CC )
278277mulid2d 9679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x ) )  _d x )
279 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  =  0 )
280279oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
281132recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
282281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
283282mul02d 9849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
284280, 283eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  x )  =  0 )
285284fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  ( cos `  0 ) )
286285, 197syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
287286adantll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  ( N  x.  x )
)  =  1 )
288287itgeq2dv 22818 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x )
289 ioovolcl 22601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( vol `  (
0 (,) pi ) )  e.  RR )
2905, 1, 289mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR
291 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
292 itgconst 22855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
293167, 290, 291, 292mp3an 1390 . . . . . . . . 9  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )
294293a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
29543mulid2i 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
296 volioo 37922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  0  <_  pi )  ->  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 ) )
2975, 1, 9, 296mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 )
29843subid1i 9966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi 
-  0 )  =  pi
299297, 298eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  pi
300299oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  ( 1  x.  pi )
301300a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  ( 1  x.  pi ) )
302 iftrue 3878 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  pi )
303295, 301, 3023eqtr4a 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
304303adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
305288, 294, 3043eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
306262, 245oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
307253subidd 9993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  -  0 )  =  0 )
308306, 307eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  =  0 )
309308oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( 0  /  N
) )
310309adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  ( 0  /  N ) )
311310, 265eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  ( (
( sin `  ( N  x.  pi )
)  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N )  =  0 )
3121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  pi  e.  RR )
3139a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  0  <_  pi )
314235, 237, 312, 313, 240itgcoscmulx 37943 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. (
0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  ( ( ( sin `  ( N  x.  pi ) )  -  ( sin `  ( N  x.  0 ) ) )  /  N ) )
315269iffalsed 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  0 )
316311, 314, 3153eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  0  <  N )  ->  S. (
0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
317231, 316syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  N  =  0 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )
318305, 317pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
319278, 318eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( cos `  ( N  x.  x )
)  _d x )  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
320275, 276, 3193eqtr2d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  =  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )
321274, 320oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) 0 ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x ) ) )  _d x )  =  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) ) )
322321oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. (
-u pi (,) 0
) ( ( F `
 x )  x.  ( cos `  ( N  x.  x )
) )  _d x  +  S. ( 0 (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x )  /  pi )  =  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  /  pi ) )
323222, 302oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  ( -u pi  +  pi ) )
324323, 50syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0 )
325 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  =  0 )
326 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 )  =  0 )
327325, 326oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
328 00id 9826 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  0 )  =  0
329327, 328syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0 )
330324, 329pm2.61i 169 . . . . 5  |-  ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  =  0
331330oveq1i 6318 . . . 4  |-  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )  /  pi )  =  (
0  /  pi )
3325, 8gtneii 9764 . . . . 5  |-  pi  =/=  0
33343, 332div0i 10363 . . . 4  |-  ( 0  /  pi )  =  0
334331, 333eqtri 2493 . . 3  |-  ( ( if ( N  =  0 ,  -u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi , 
0 ) )  /  pi )  =  0
335334a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( if ( N  =  0 , 
-u pi ,  0 )  +  if ( N  =  0 ,  pi ,  0 ) )  /  pi )  =  0 )
336188, 322, 3353eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F `  x
)  x.  ( cos `  ( N  x.  x
) ) )  _d x  /  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663    mod cmo 12129   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fouriersw  38207
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