Theorem sqval 12208

Description: Value of the square of a complex number. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sqval	|- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )

Proof of Theorem sqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 10601	. . . 4 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq2i 6292	. . 3 |- ( A ^ 2 ) = ( A ^ ( 1 + 1 ) )
3		1nn0 10818	. . . 4 |- 1 e. NN0
4		expp1 12154	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 1 + 1 ) ) = ( ( A ^ 1 ) x. A ) )
5	3, 4	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A ^ ( 1 + 1 ) ) = ( ( A ^ 1 ) x. A ) )
6	2, 5	syl5eq 2496	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( ( A ^ 1 ) x. A ) )
7		exp1 12153	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
8	7	oveq1d 6296	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( A ^ 1 ) x. A ) = ( A x. A ) )
9	6, 8	eqtrd 2484	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1383   e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   2c2 10592   NN0cn0 10802   ^cexp 12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-seq 12089  df-exp 12148

This theorem is referenced by:  sqneg  12209  sqcl  12211  sqdiv  12214  sqgt0  12217  nnsqcl  12218  qsqcl  12220  sq11  12221  lt2sq  12222  le2sq  12223  sqge0  12225  sqvali  12228  nnlesq  12252  sqlecan  12255  subsq  12256  subsq2  12257  binom3  12268  sq01  12269  zesq  12270  discr1  12283  discr  12284  sqvald  12288  sqrlem2  13058  sqreulem  13173  arisum  13652  itgsinexplem1  31642