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Theorem sqsscirc2 26344
Description: The complex square of side  D is a subset of the complex disc of radius  D. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
D ) )

Proof of Theorem sqsscirc2
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
43recld 12688 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Re `  ( B  -  A
) )  e.  RR )
54recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Re `  ( B  -  A
) )  e.  CC )
65abscld 12927 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR )
75absge0d 12935 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A
) ) ) )
86, 7jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ) )
93imcld 12689 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Im `  ( B  -  A
) )  e.  RR )
109recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Im `  ( B  -  A
) )  e.  CC )
1110abscld 12927 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR )
1210absge0d 12935 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) ) )
1311, 12jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) ) ) )
14 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
15 sqsscirc1 26343 . . 3  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) )  /\  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ) )  /\  D  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
168, 13, 14, 15syl21anc 1217 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
173absval2d 12936 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) ) )
1817breq1d 4307 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( Re `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  ( B  -  A ) ) ^
2 ) ) )  <  D ) )
19 absresq 12796 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( B  -  A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )
204, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )
21 absresq 12796 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( B  -  A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )
229, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )
2320, 22oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( B  -  A ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
2423fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) ) )
2524breq1d 4307 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )  <  D
) )
2618, 25bitr4d 256 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
2716, 26sylibrd 234 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   2c2 10376   RR+crp 10996   ^cexp 11870   Recre 12591   Imcim 12592   sqrcsqr 12727   abscabs 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730
This theorem is referenced by:  tpr2rico  26347
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