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Theorem sqsscirc2 24260
Description: The complex square of side  D is a subset of the complex disc of radius  D. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
D ) )

Proof of Theorem sqsscirc2
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
2 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
31, 2subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
43recld 11954 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Re `  ( B  -  A
) )  e.  RR )
54recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Re `  ( B  -  A
) )  e.  CC )
65abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR )
75absge0d 12201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A
) ) ) )
86, 7jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ) )
93imcld 11955 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Im `  ( B  -  A
) )  e.  RR )
109recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( Im `  ( B  -  A
) )  e.  CC )
1110abscld 12193 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR )
1210absge0d 12201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) ) )
1311, 12jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) ) ) )
14 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  D  e.  RR+ )
15 sqsscirc1 24259 . . 3  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) )  /\  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ) )  /\  D  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
168, 13, 14, 15syl21anc 1183 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
173absval2d 12202 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  =  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) ) )
1817breq1d 4182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( Re `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  +  ( ( Im
`  ( B  -  A ) ) ^
2 ) ) )  <  D ) )
19 absresq 12062 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( B  -  A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )
204, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )
21 absresq 12062 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( B  -  A ) )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )
229, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( Im `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )
2320, 22oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( B  -  A ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
2423fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) ) )
2524breq1d 4182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( ( ( abs `  ( Re `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( Im
`  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( Re
`  ( B  -  A ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )  <  D
) )
2618, 25bitr4d 248 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  <  D  <->  ( sqr `  ( ( ( abs `  (
Re `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
Im `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 ) ) )  <  D ) )
2716, 26sylibrd 226 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  D  e.  RR+ )  ->  ( ( ( abs `  ( Re
`  ( B  -  A ) ) )  <  ( D  / 
2 )  /\  ( abs `  ( Im `  ( B  -  A
) ) )  < 
( D  /  2
) )  ->  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858   sqrcsqr 11993   abscabs 11994
This theorem is referenced by:  tpr2rico  24263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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