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Theorem sqsscirc1 27722
Description: The complex square of side  D is a subset of the complex circle of radius  D. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  e.  RR )
21resqcld 12316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  e.  RR )
3 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )
43simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
54resqcld 12316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  e.  RR )
62, 5readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  RR )
71sqge0d 12317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( X ^ 2 ) )
84sqge0d 12317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( Y ^ 2 ) )
92, 5, 7, 8addge0d 10140 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
106, 9resqrtcld 13228 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  e.  RR )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR+ )
1211rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR )
1312rehalfcld 10797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( D  / 
2 )  e.  RR )
1413resqcld 12316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( D  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
1514, 14readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1613sqge0d 12317 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
1714, 14, 16, 16addge0d 10140 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
1815, 17resqrtcld 13228 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
19 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  <  ( D  /  2 ) )
20 simp-4r 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  X
)
21 2rp 11237 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR+ )
2311rpge0d 11272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  D
)
2412, 22, 23divge0d 11304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( D  /  2 ) )
251, 13, 20, 24lt2sqd 12324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X  < 
( D  /  2
)  <->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
27 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  <  ( D  /  2 ) )
283simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  Y
)
294, 13, 28, 24lt2sqd 12324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  < 
( D  /  2
)  <->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 10186 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  <  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
326, 9, 15, 17sqrtltd 13238 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  < 
( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) )  <->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
34 rpre 11238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
3534rehalfcld 10797 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
3635resqcld 12316 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  CC )
38372timesd 10793 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 2  x.  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3938fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( D  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR+ )
41 rpge0 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_  D )
4234, 40, 41divge0d 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( D  /  2
) )
4335, 42sqrtsqd 13230 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( D  /  2 ) )
4443oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
45 2re 10617 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR )
47 0le2 10638 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
4935sqge0d 12317 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )
5046, 48, 36, 49sqrtmuld 13235 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
51 2cnd 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
5251sqrtcld 13247 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
53 rpcn 11240 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
54 2ne0 10640 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
5652, 51, 53, 55div32d 10355 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
5744, 50, 563eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
5839, 57eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
59 2lt4 10718 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
60 4re 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
61 0re 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
62 4pos 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
6361, 60, 62ltleii 9719 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  4
64 sqrtlt 13074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
6659, 65mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
67 2pos 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
6845, 67sqrtpclii 13194 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
6960, 62sqrtpclii 13194 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  4 )  e.  RR
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 10487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
)  <->  ( ( sqr `  2 )  / 
2 )  <  (
( sqr `  4
)  /  2 ) )
7166, 70mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  < 
( ( sqr `  4
)  /  2 )
72 sqrtsq 13082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( sqr `  (
2 ^ 2 ) )  =  2 )
7345, 47, 72mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  2
7473oveq1i 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
75 sq2 12244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
7675fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( sqr `  4 )
7776oveq1i 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( sqr `  4
)  /  2 )
78 2div2e1 10670 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7974, 77, 783eqtr3i 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  4 )  /  2 )  =  1
8071, 79breqtri 4476 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  <  1
8146, 48resqrtcld 13228 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR )
8281rehalfcld 10797 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  e.  RR )
83 1red 9623 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
84 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR+ )
8582, 83, 84ltmul1d 11305 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  <  1  <->  ( (
( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) ) )
8680, 85mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) )
8753mulid2d 9626 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
8886, 87breqtrd 4477 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
D )
8958, 88eqbrtrd 4473 . . . 4  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  <  D
)
9011, 89syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  <  D )
9110, 18, 12, 33, 90lttrd 9754 . 2  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D )
9291ex 434 1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   2c2 10597   4c4 10599   RR+crp 11232   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  27723
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