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Theorem sqsscirc1 24259
Description: The complex square of side  D is a subset of the complex circle of radius  D. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  e.  RR )
21resqcld 11504 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  e.  RR )
3 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )
43simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
54resqcld 11504 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  e.  RR )
62, 5readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  RR )
71sqge0d 11505 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( X ^ 2 ) )
84sqge0d 11505 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( Y ^ 2 ) )
92, 5, 7, 8addge0d 9558 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
106, 9resqrcld 12175 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  e.  RR )
11 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR+ )
1211rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR )
1312rehalfcld 10170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( D  / 
2 )  e.  RR )
1413resqcld 11504 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( D  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
1514, 14readdcld 9071 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1613sqge0d 11505 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
1714, 14, 16, 16addge0d 9558 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
1815, 17resqrcld 12175 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
19 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  <  ( D  /  2 ) )
20 simp-4r 744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  X
)
21 2rp 10573 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR+ )
2311rpge0d 10608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  D
)
2412, 22, 23divge0d 10640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( D  /  2 ) )
251, 13, 20, 24lt2sqd 11512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X  < 
( D  /  2
)  <->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
2619, 25mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
27 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  <  ( D  /  2 ) )
283simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  Y
)
294, 13, 28, 24lt2sqd 11512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  < 
( D  /  2
)  <->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3027, 29mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 9604 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  <  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
326, 9, 15, 17sqrltd 12185 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  < 
( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) )  <->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) ) )
3331, 32mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
34 rpre 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
3534rehalfcld 10170 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
3635resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  CC )
38372timesd 10166 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 2  x.  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3938fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( D  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR+ )
41 rpge0 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_  D )
4234, 40, 41divge0d 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( D  /  2
) )
4335, 42sqrsqd 12177 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( D  /  2 ) )
4443oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
45 2re 10025 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR )
47 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
48 2pos 10038 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
4947, 45, 48ltleii 9152 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
5049a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
5135sqge0d 11505 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )
5246, 50, 36, 51sqrmuld 12182 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
53 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
5554sqrcld 12194 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
56 rpcn 10576 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
57 2ne0 10039 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
5955, 54, 56, 58div32d 9769 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
6044, 52, 593eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
6139, 60eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
62 2lt4 10102 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
63 4re 10029 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
64 4pos 10042 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
6547, 63, 64ltleii 9152 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  4
66 sqrlt 12022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
6745, 49, 63, 65, 66mp4an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
6862, 67mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
6945, 48sqrpclii 12141 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
7063, 64sqrpclii 12141 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  4 )  e.  RR
7169, 70, 45, 48ltdiv1ii 9896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
)  <->  ( ( sqr `  2 )  / 
2 )  <  (
( sqr `  4
)  /  2 ) )
7268, 71mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  < 
( ( sqr `  4
)  /  2 )
73 sqrsq 12030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( sqr `  (
2 ^ 2 ) )  =  2 )
7445, 49, 73mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  2
7574oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
76 sq2 11432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
7776fveq2i 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( sqr `  4 )
7877oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( sqr `  4
)  /  2 )
7953, 57dividi 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  2 )  =  1
8075, 78, 793eqtr3i 2432 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  4 )  /  2 )  =  1
8172, 80breqtri 4195 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  <  1
8246, 50resqrcld 12175 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR )
8382rehalfcld 10170 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  e.  RR )
84 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8584a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
86 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR+ )
8783, 85, 86ltmul1d 10641 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  <  1  <->  ( (
( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) ) )
8881, 87mpbii 203 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) )
8956mulid2d 9062 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
9088, 89breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
D )
9161, 90eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  <  D
)
9211, 91syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  <  D )
9310, 18, 12, 33, 92lttrd 9187 . 2  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D )
9493ex 424 1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   4c4 10007   RR+crp 10568   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  24260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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