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Theorem sqsscirc1 26357
Description: The complex square of side  D is a subset of the complex circle of radius  D. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )

Proof of Theorem sqsscirc1
StepHypRef Expression
1 simp-4l 765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  e.  RR )
21resqcld 12053 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  e.  RR )
3 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )
43simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  e.  RR )
54resqcld 12053 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  e.  RR )
62, 5readdcld 9432 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  RR )
71sqge0d 12054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( X ^ 2 ) )
84sqge0d 12054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( Y ^ 2 ) )
92, 5, 7, 8addge0d 9934 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
106, 9resqrcld 12923 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  e.  RR )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR+ )
1211rpred 11046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  D  e.  RR )
1312rehalfcld 10590 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( D  / 
2 )  e.  RR )
1413resqcld 12053 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( D  /  2 ) ^
2 )  e.  RR )
1514, 14readdcld 9432 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1613sqge0d 12054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
1714, 14, 16, 16addge0d 9934 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
1815, 17resqrcld 12923 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  e.  RR )
19 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  X  <  ( D  /  2 ) )
20 simp-4r 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  X
)
21 2rp 11015 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  2  e.  RR+ )
2311rpge0d 11050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  D
)
2412, 22, 23divge0d 11082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  ( D  /  2 ) )
251, 13, 20, 24lt2sqd 12061 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X  < 
( D  /  2
)  <->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( X ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
27 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  Y  <  ( D  /  2 ) )
283simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  0  <_  Y
)
294, 13, 28, 24lt2sqd 12061 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y  < 
( D  /  2
)  <->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3027, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( Y ^
2 )  <  (
( D  /  2
) ^ 2 ) )
312, 5, 14, 14, 26, 30lt2addd 9980 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  <  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )
326, 9, 15, 17sqrltd 12933 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  < 
( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) )  <->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) ) )
3331, 32mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) ) )
34 rpre 11016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR )
3534rehalfcld 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( D  /  2 )  e.  RR )
3635resqcld 12053 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  RR )
3736recnd 9431 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( D  /  2 ) ^ 2 )  e.  CC )
38372timesd 10586 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 2  x.  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )
3938fveq2d 5714 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( D  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
4021a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR+ )
41 rpge0 11022 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_  D )
4234, 40, 41divge0d 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( D  /  2
) )
4335, 42sqrsqd 12925 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( D  /  2 ) )
4443oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
45 2re 10410 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  RR )
47 0le2 10431 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
2 )
4935sqge0d 12054 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) )
5046, 48, 36, 49sqrmuld 12930 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  ( ( D  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
51 2cnd 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
5251sqrcld 12942 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
53 rpcn 11018 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  CC )
54 2ne0 10433 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
5652, 51, 53, 55div32d 10149 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( D  /  2 ) ) )
5744, 50, 563eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  (
( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
5839, 57eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D ) )
59 2lt4 10511 . . . . . . . . . 10  |-  2  <  4
60 4re 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  RR
61 0re 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
62 4pos 10436 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  4
6361, 60, 62ltleii 9516 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  4
64 sqrlt 12770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
6545, 47, 60, 63, 64mp4an 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
6659, 65mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
67 2pos 10432 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
6845, 67sqrpclii 12889 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
6960, 62sqrpclii 12889 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  4 )  e.  RR
7068, 69, 45, 67ltdiv1ii 10281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
)  <->  ( ( sqr `  2 )  / 
2 )  <  (
( sqr `  4
)  /  2 ) )
7166, 70mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  < 
( ( sqr `  4
)  /  2 )
72 sqrsq 12778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( sqr `  (
2 ^ 2 ) )  =  2 )
7345, 47, 72mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  2
7473oveq1i 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)
75 sq2 11981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
7675fveq2i 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( sqr `  4 )
7776oveq1i 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2 ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( sqr `  4
)  /  2 )
78 2div2e1 10463 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  /  2 )  =  1
7974, 77, 783eqtr3i 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( sqr `  4 )  /  2 )  =  1
8071, 79breqtri 4334 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  <  1
8146, 48resqrcld 12923 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR )
8281rehalfcld 10590 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  /  2 )  e.  RR )
83 1re 9404 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8483a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
85 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  RR+  ->  D  e.  RR+ )
8682, 84, 85ltmul1d 11083 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  <  1  <->  ( (
( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) ) )
8780, 86mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
( 1  x.  D
) )
8853mulid2d 9423 . . . . . 6  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( 1  x.  D )  =  D )
8987, 88breqtrd 4335 . . . . 5  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( ( ( sqr `  2
)  /  2 )  x.  D )  < 
D )
9058, 89eqbrtrd 4331 . . . 4  |-  ( D  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( ( ( D  /  2 ) ^
2 )  +  ( ( D  /  2
) ^ 2 ) ) )  <  D
)
9111, 90syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( ( D  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( D  /  2 ) ^ 2 ) ) )  <  D )
9210, 18, 12, 33, 91lttrd 9551 . 2  |-  ( ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  /\  ( X  <  ( D  /  2 )  /\  Y  <  ( D  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D )
9392ex 434 1  |-  ( ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X )  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y ) )  /\  D  e.  RR+ )  -> 
( ( X  < 
( D  /  2
)  /\  Y  <  ( D  /  2 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )  <  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    + caddc 9304    x. cmul 9306    < clt 9437    <_ cle 9438    / cdiv 10012   2c2 10390   4c4 10392   RR+crp 11010   ^cexp 11884   sqrcsqr 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-seq 11826  df-exp 11885  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744
This theorem is referenced by:  sqsscirc2  26358
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