Theorem sqsqrd 13036

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
sqsqrd	|- ( ph -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )

Proof of Theorem sqsqrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		sqrth 12963	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   2c2 10475   ^cexp 11975   sqrcsqr 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836

This theorem is referenced by:  msqsqrd  13037  sqr00d  13038  zsqrelqelz  13947  nonsq  13948  prmreclem3  14090  nmsq  20838  ipcau2  20874  tchcphlem1  20875  tchcph  20877  minveclem3b  21040  efif1olem3  22126  efif1olem4  22127  cxpsqr  22274  loglesqr  22322  quad  22361  cubic  22370  quartlem4  22381  quart  22382  asinlem  22389  asinlem2  22390  efiatan2  22438  cosatan  22442  cosatanne0  22443  atans2  22452  chpub  22685  chtppilim  22850  rplogsumlem1  22859  dchrisum0flblem1  22883  dchrisum0flblem2  22884  dchrisum0fno1  22886  sin2h  28563  cos2h  28564  areacirclem1  28625  areacirclem5  28629  pell1234qrne0  29335  pell1234qrreccl  29336  pell1234qrmulcl  29337  pell14qrgt0  29341  pell14qrdich  29351  pell1qrgaplem  29355  pell14qrgapw  29358  pellqrex  29361  rmxyneg  29402  jm2.22  29485