MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtthlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sqrtthlem 13425
Description: Lemma for sqrtth 13427. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtthlem  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)

Proof of Theorem sqrtthlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtval 13300 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
21eqcomd 2457 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) )
3 sqrtcl 13424 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 sqreu 13423 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
5 oveq1 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( x ^ 2 )  =  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )
65eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  =  A ) )
7 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( Re `  x )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
87breq2d 4414 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( 0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
9 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )
10 neleq1 2729 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  ->  ( (
_i  x.  x )  e/  RR+  <->  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
_i  x.  x )  e/  RR+  <->  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
126, 8, 113anbi123d 1339 . . . 4  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( (
( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
) )
1312riota2 6274 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) ) )
143, 4, 13syl2anc 667 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) ) )
152, 14mpbird 236 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   _ici 9541    x. cmul 9544    <_ cle 9676   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12272   Recre 13160   sqrcsqrt 13296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  sqrtth  13427  sqrtrege0  13428  eqsqrtd  13430
  Copyright terms: Public domain W3C validator