MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtlim Structured version   Unicode version

Theorem sqrtlim 23442
Description: The inverse square root function converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sqrtlim  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0

Proof of Theorem sqrtlim
StepHypRef Expression
1 rpcn 11169 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  CC )
2 cxpsqrt 23194 . . . . 5  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  n ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  n
) )
43oveq2d 6234 . . 3  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( 1  /  ( n  ^c  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( sqr `  n
) ) )
54mpteq2ia 4466 . 2  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( n  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )
6 1rp 11165 . . 3  |-  1  e.  RR+
7 rphalfcl 11186 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
8 cxplim 23441 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( n  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0 )
96, 7, 8mp2b 10 . 2  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( n  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )  ~~> r  0
105, 9eqbrtrri 4405 1  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1836   class class class wbr 4384    |-> cmpt 4442   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   0cc0 9425   1c1 9426    / cdiv 10145   2c2 10524   RR+crp 11161   sqrcsqrt 13091    ~~> r crli 13333    ^c ccxp 23051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-fi 7808  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-mod 11920  df-seq 12034  df-exp 12093  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-shft 12925  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-limsup 13319  df-clim 13336  df-rlim 13337  df-sum 13534  df-ef 13828  df-sin 13830  df-cos 13831  df-pi 13833  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-hom 14749  df-cco 14750  df-rest 14853  df-topn 14854  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-topgen 14874  df-pt 14875  df-prds 14878  df-xrs 14932  df-qtop 14937  df-imas 14938  df-xps 14940  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-fbas 18552  df-fg 18553  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cld 19628  df-ntr 19629  df-cls 19630  df-nei 19708  df-lp 19746  df-perf 19747  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-haus 19925  df-tx 20171  df-hmeo 20364  df-fil 20455  df-fm 20547  df-flim 20548  df-flf 20549  df-xms 20931  df-ms 20932  df-tms 20933  df-cncf 21490  df-limc 22378  df-dv 22379  df-log 23052  df-cxp 23053
This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  23449  dchrisum0lema  23839  dchrisum0lem1  23841
  Copyright terms: Public domain W3C validator