MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrthlem Structured version   Unicode version

Theorem sqrthlem 12949
Description: Lemma for sqrth 12951. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrthlem  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)

Proof of Theorem sqrthlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrval 12825 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
21eqcomd 2458 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( iota_ x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) )
3 sqrcl 12948 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 sqreu 12947 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
5 oveq1 6194 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( x ^ 2 )  =  ( ( sqr `  A
) ^ 2 ) )
65eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  =  A ) )
7 fveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( Re `  x )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
87breq2d 4399 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( 0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
9 oveq2 6195 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )
10 neleq1 2784 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  ->  ( (
_i  x.  x )  e/  RR+  <->  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
_i  x.  x )  e/  RR+  <->  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
126, 8, 113anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( (
( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
) )
1312riota2 6171 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) ) )
143, 4, 13syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  ( sqr `  A
) ) )
152, 14mpbird 232 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) )  /\  ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e/  RR+ )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2643   E!wreu 2795   class class class wbr 4387   ` cfv 5513   iota_crio 6147  (class class class)co 6187   CCcc 9378   0cc0 9380   _ici 9382    x. cmul 9385    <_ cle 9517   2c2 10469   RR+crp 11089   ^cexp 11963   Recre 12685   sqrcsqr 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824
This theorem is referenced by:  sqrth  12951  sqrrege0  12952  eqsqrd  12954
  Copyright terms: Public domain W3C validator