MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtcn Structured version   Unicode version

Theorem sqrtcn 23250
Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
sqrtcn  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )

Proof of Theorem sqrtcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 13208 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5926 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5282 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D ) )
5 sqrcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 difss 3627 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
75, 6eqsstri 3529 . . . . 5  |-  D  C_  CC
8 resmpt 5333 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
97, 8mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
107sseli 3495 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
12 cxpsqrt 23210 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1413eqcomd 2465 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  x )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
1514mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
164, 9, 153eqtrd 2502 . . 3  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1817cnfldtopon 21416 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
20 resttopon 19789 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2119, 7, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2221cnmptid 20288 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  D ) ) )
23 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
24 halfcl 10785 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
2523, 24mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
2621, 19, 25cnmptc 20289 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  D )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  D )
285, 17, 27cxpcn 23245 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
30 oveq12 6305 . . . . 5  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^c  z )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
3121, 22, 26, 21, 19, 29, 30cnmpt12 20294 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
32 ssid 3518 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
3318toponunii 19560 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
3433restid 14851 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
3635eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3717, 27, 36cncfcn 21539 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
387, 32, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3931, 38syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4016, 39eqeltrd 2545 . 2  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4140trud 1404 1  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    \ cdif 3468    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510   -oocmnf 9643    / cdiv 10227   2c2 10606   (,]cioc 11555   sqrcsqrt 13078   ↾t crest 14838   TopOpenctopn 14839  ℂfldccnfld 18547  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    tX ctx 20187   -cn->ccncf 21506    ^c ccxp 23069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator