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Theorem sqrt2irr 14189
Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrtelqelz 14498 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 14188, which shows that if  A  /  B  =  sqr ( 2 ), then  A and  B are even, so  A  / 
2 and  B  /  2 are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irr  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ

Proof of Theorem sqrt2irr
Dummy variables  x  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10587 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2 breq2 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
z  <  n  <->  z  <  1 ) )
32imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
43ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
5 breq2 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  (
z  <  n  <->  z  <  y ) )
65imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  y  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
76ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
8 breq2 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  n  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
98imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
109ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
11 nnnlt1 10605 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
1211pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) ) )
1312rgen 2763 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )
14 nnrp 11273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
15 rphalflt 11291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  /  2 )  <  y )
17 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
z  <  y  <->  ( y  /  2 )  < 
y ) )
18 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
( y  /  2
) ) )
1918neeq2d 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  ( y  /  2 ) ) ) )
2019ralbidv 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
2117, 20imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( (
y  /  2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
2221rspcv 3155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2322com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  2 )  <  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2416, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
25 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )
26 zcn 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  CC )
28 nncn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  CC )
30 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  e.  CC )
31 nnne0 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  =/=  0
)
33 2ne0 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  =/=  0
)
3527, 29, 30, 32, 34divcan7d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) )  =  ( z  /  y ) )
3625, 35eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) )
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  ZZ )
38 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  NN )
3937, 38, 25sqr2irrlem 14188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  /\  ( y  /  2 )  e.  NN ) )
4039simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  NN )
4139simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( z  / 
2 )  e.  ZZ )
42 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
x  /  ( y  /  2 ) )  =  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) ) )
4342neeq2d 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
( z  /  2
)  /  ( y  /  2 ) ) ) )
4443rspcv 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) )  ->  ( sqr `  2 )  =/=  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) ) ) )
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4640, 45embantd 53 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4746necon2bd 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( sqr `  2 )  =  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  (
y  /  2 ) ) ) ) )
4836, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  -.  ( (
y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4948ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
5049necon2ad 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( z  /  y ) ) )
5150ralrimdva 2821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
5224, 51syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
53 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  y )  =  ( z  / 
y ) )
5453neeq2d 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
z  /  y ) ) )
5554cbvralv 3033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  y
)  <->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) )
5652, 55syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y ) ) )
57 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
y ) )
5857neeq2d 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  y ) ) )
5958ralbidv 2842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6059ceqsralv 3087 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6156, 60sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
6261ancld 551 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
63 nnleltp1 10958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
64 nnre 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
65 nnre 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
66 leloe 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6764, 65, 66syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6863, 67bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
6968ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7069imbi1d 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  \/  z  =  y )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
71 jaob 784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  <  y  \/  z  =  y
)  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7270, 71syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
7372ralbidva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
74 r19.26 2933 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  NN  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) )  <-> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7573, 74syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) )  /\  A. z  e.  NN  (
z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) ) )
7662, 75sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
774, 7, 10, 10, 13, 76nnind 10593 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
781, 77syl 17 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
7965ltp1d 10515 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
80 breq1 4397 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  <->  y  <  ( y  +  1 ) ) )
81 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
8258, 81syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
8382ralbidv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
84 ralnex 2849 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  / 
y )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
8583, 84syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) )
8680, 85imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( y  <  ( y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8786rspcv 3155 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( y  <  (
y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8878, 79, 87mp2d 43 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
8988nrex 2858 . . 3  |-  -.  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y )
90 elq 11228 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
91 rexcom 2968 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
)  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9290, 91bitri 249 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
9389, 92mtbir 297 . 2  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
9493nelir 2739 1  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    e/ wnel 2599   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    < clt 9657    <_ cle 9658    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   ZZcz 10904   QQcq 11226   RR+crp 11264   sqrcsqrt 13213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216
This theorem is referenced by:  nthruc  14191
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