MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2gt1lt2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sqrt2gt1lt2 13387
Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2gt1lt2  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2
StepHypRef Expression
1 sqrt1 13384 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  =  1
2 1lt2 10805 . . . 4  |-  1  <  2
3 1re 9668 . . . . 5  |-  1  e.  RR
4 0le1 10165 . . . . 5  |-  0  <_  1
5 2re 10707 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 0le2 10728 . . . . 5  |-  0  <_  2
7 sqrtlt 13374 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_ 
2 ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2
) ) )
83, 4, 5, 6, 7mp4an 684 . . . 4  |-  ( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2 ) )
92, 8mpbi 213 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  < 
( sqr `  2
)
101, 9eqbrtrri 4438 . 2  |-  1  <  ( sqr `  2
)
11 2lt4 10809 . . . 4  |-  2  <  4
12 4re 10714 . . . . 5  |-  4  e.  RR
13 0re 9669 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
14 4pos 10733 . . . . . 6  |-  0  <  4
1513, 12, 14ltleii 9783 . . . . 5  |-  0  <_  4
16 sqrtlt 13374 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
175, 6, 12, 15, 16mp4an 684 . . . 4  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
1811, 17mpbi 213 . . 3  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
19 sqrt4 13385 . . 3  |-  ( sqr `  4 )  =  2
2018, 19breqtri 4440 . 2  |-  ( sqr `  2 )  <  2
2110, 20pm3.2i 461 1  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1898   class class class wbr 4416   ` cfv 5601   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566    < clt 9701    <_ cle 9702   2c2 10687   4c4 10689   sqrcsqrt 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-sup 7982  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-seq 12246  df-exp 12305  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator