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Theorem sqrlem6 13083
Description: Lemma for 01sqrex 13085. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem5 13082 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
54simprd 461 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
6 vex 3037 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
7 eqeq1 2386 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( a  x.  b )  <->  v  =  ( a  x.  b
) ) )
872rexbidv 2900 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) ) )
96, 8, 3elab2 3174 . . . . 5  |-  ( v  e.  T  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) )
10 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
1110breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1211, 1elrab2 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  RR+  /\  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1312simplbi 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR+ )
14 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1615, 1elrab2 3184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  <->  ( b  e.  RR+  /\  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1716simplbi 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR+ )
18 rpre 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
20 rpre 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
2120adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
22 rpgt0 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  0  < 
b )
2322adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  b )
24 lemul1 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
b  e.  RR  /\  0  <  b ) )  ->  ( a  <_ 
b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2613, 17, 25syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b  x.  b ) ) )
2717rpcnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  CC )
2827sqvald 12209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  =  ( b  x.  b ) )
2928breq2d 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( b ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
3029adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( b  x.  b ) ) )
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3231adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3316simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  <_  A )
3433ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  <_  A )
3513rpred 11177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR )
3617rpred 11177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR )
37 remulcl 9488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3835, 36, 37syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3938adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  e.  RR )
4036resqcld 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
4140ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  e.  RR )
42 rpre 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  ->  A  e.  RR )
44 letr 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( b ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4634, 45mpan2d 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
4732, 46sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
48 rpgt0 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  0  < 
a )
4948adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  a )
50 lemul2 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( b  <_ 
a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5213, 17, 51syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a  x.  a ) ) )
5313rpcnd 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  CC )
5453sqvald 12209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  =  ( a  x.  a ) )
5554breq2d 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( a ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5655adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( a  x.  a ) ) )
5752, 56bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5857adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5912simprbi 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  <_  A )
6059ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  <_  A )
6135resqcld 12238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
6261ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  e.  RR )
63 letr 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( a ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6439, 62, 43, 63syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6560, 64mpan2d 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
6658, 65sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
671, 2sqrlem3 13080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e.  S  v  <_  y
) )
6867simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  C_  RR )
6968sseld 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
a  e.  S  -> 
a  e.  RR ) )
7068sseld 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
b  e.  S  -> 
b  e.  RR ) )
7169, 70anim12d 561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) ) )
7271imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
73 letric 9596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7547, 66, 74mpjaod 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  A )
7675ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
77 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  (
v  <_  A  <->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
7877biimprcd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( a  x.  b )  <_  A  ->  (
v  =  ( a  x.  b )  -> 
v  <_  A )
)
7976, 78syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) ) )
8079rexlimdvv 2880 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) )
819, 80syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
v  e.  T  -> 
v  <_  A )
)
8281ralrimiv 2794 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  T  v  <_  A )
834simpld 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
8442adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
85 suprleub 10423 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  A  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8683, 84, 85syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8782, 86mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
885, 87eqbrtrd 4387 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540   2c2 10502   RR+crp 11139   ^cexp 12069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070
This theorem is referenced by:  sqrlem7  13084
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