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Theorem sqrlem6 12733
Description: Lemma for 01sqrex 12735. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem5 12732 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
54simprd 460 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
6 vex 2973 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
7 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( a  x.  b )  <->  v  =  ( a  x.  b
) ) )
872rexbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) ) )
96, 8, 3elab2 3106 . . . . 5  |-  ( v  e.  T  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) )
10 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
1110breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1211, 1elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  RR+  /\  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1312simplbi 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR+ )
14 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1615, 1elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  <->  ( b  e.  RR+  /\  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1716simplbi 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR+ )
18 rpre 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
1918adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
20 rpre 10993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
2120adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
22 rpgt0 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  0  < 
b )
2322adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  b )
24 lemul1 10177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
b  e.  RR  /\  0  <  b ) )  ->  ( a  <_ 
b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2613, 17, 25syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b  x.  b ) ) )
2717rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  CC )
2827sqvald 12001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  =  ( b  x.  b ) )
2928breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( b ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
3029adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( b  x.  b ) ) )
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3231adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3316simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  <_  A )
3433ad2antll 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  <_  A )
3513rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR )
3617rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR )
37 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3835, 36, 37syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3938adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  e.  RR )
4036resqcld 12030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
4140ad2antll 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  e.  RR )
42 rpre 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
4342ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  ->  A  e.  RR )
44 letr 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( b ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4634, 45mpan2d 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
4732, 46sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
48 rpgt0 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  0  < 
a )
4948adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  a )
50 lemul2 10178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( b  <_ 
a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5213, 17, 51syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a  x.  a ) ) )
5313rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  CC )
5453sqvald 12001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  =  ( a  x.  a ) )
5554breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( a ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5655adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( a  x.  a ) ) )
5752, 56bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5857adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5912simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  <_  A )
6059ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  <_  A )
6135resqcld 12030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
6261ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  e.  RR )
63 letr 9464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( a ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6439, 62, 43, 63syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6560, 64mpan2d 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
6658, 65sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
671, 2sqrlem3 12730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e.  S  v  <_  y
) )
6867simp1d 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  C_  RR )
6968sseld 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
a  e.  S  -> 
a  e.  RR ) )
7068sseld 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
b  e.  S  -> 
b  e.  RR ) )
7169, 70anim12d 560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) ) )
7271imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
73 letric 9471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7547, 66, 74mpjaod 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  A )
7675ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
77 breq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  (
v  <_  A  <->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
7877biimprcd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( a  x.  b )  <_  A  ->  (
v  =  ( a  x.  b )  -> 
v  <_  A )
)
7976, 78syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) ) )
8079rexlimdvv 2845 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) )
819, 80syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
v  e.  T  -> 
v  <_  A )
)
8281ralrimiv 2796 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  T  v  <_  A )
834simpld 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
8442adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
85 suprleub 10290 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  A  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8683, 84, 85syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8782, 86mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
885, 87eqbrtrd 4309 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   2c2 10367   RR+crp 10987   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  sqrlem7  12734
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