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Theorem sqrlem6 13055
Description: Lemma for 01sqrex 13057. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Distinct variable groups:    a, b,
y, S    x, a, A, b, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
3 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
41, 2, 3sqrlem5 13054 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
54simprd 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
6 vex 3096 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
7 eqeq1 2445 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
y  =  ( a  x.  b )  <->  v  =  ( a  x.  b
) ) )
872rexbidv 2959 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) ) )
96, 8, 3elab2 3233 . . . . 5  |-  ( v  e.  T  <->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b
) )
10 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x ^ 2 )  =  ( a ^
2 ) )
1110breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1211, 1elrab2 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  ( a  e.  RR+  /\  ( a ^ 2 )  <_  A ) )
1312simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR+ )
14 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ^ 2 )  =  ( b ^
2 ) )
1514breq1d 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1615, 1elrab2 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  <->  ( b  e.  RR+  /\  ( b ^ 2 )  <_  A ) )
1716simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR+ )
18 rpre 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
20 rpre 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
22 rpgt0 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  RR+  ->  0  < 
b )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  b )
24 lemul1 10395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
b  e.  RR  /\  0  <  b ) )  ->  ( a  <_ 
b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
2613, 17, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b  x.  b ) ) )
2717rpcnd 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  CC )
2827sqvald 12281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  =  ( b  x.  b ) )
2928breq2d 4445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( b ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
b  x.  b ) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( b  x.  b ) ) )
3126, 30bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  <->  ( a  x.  b )  <_  ( b ^
2 ) ) )
3316simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  <_  A )
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  <_  A )
3513rpred 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  RR )
3617rpred 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  S  ->  b  e.  RR )
37 remulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3835, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( a  x.  b
)  e.  RR )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  e.  RR )
4036resqcld 12310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  S  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b ^ 2 )  e.  RR )
42 rpre 11230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  ->  A  e.  RR )
44 letr 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( b ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( b ^ 2 )  /\  ( b ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
4634, 45mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
b ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
4732, 46sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
48 rpgt0 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  RR+  ->  0  < 
a )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  0  <  a )
50 lemul2 10396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( b  <_ 
a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  (
b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5213, 17, 51syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a  x.  a ) ) )
5313rpcnd 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  S  ->  a  e.  CC )
5453sqvald 12281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  =  ( a  x.  a ) )
5554breq2d 4445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
( a  x.  b
)  <_  ( a ^ 2 )  <->  ( a  x.  b )  <_  (
a  x.  a ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  <-> 
( a  x.  b
)  <_  ( a  x.  a ) ) )
5752, 56bitr4d 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  ->  ( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5857adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  <->  ( a  x.  b )  <_  ( a ^
2 ) ) )
5912simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  <_  A )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  <_  A )
6135resqcld 12310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a ^ 2 )  e.  RR )
63 letr 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  x.  b
)  e.  RR  /\  ( a ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6439, 62, 43, 63syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( ( a  x.  b )  <_ 
( a ^ 2 )  /\  ( a ^ 2 )  <_  A )  ->  (
a  x.  b )  <_  A ) )
6560, 64mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( ( a  x.  b )  <_  (
a ^ 2 )  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
6658, 65sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( b  <_  a  ->  ( a  x.  b
)  <_  A )
)
671, 2sqrlem3 13052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. v  e.  S  v  <_  y
) )
6867simp1d 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  C_  RR )
6968sseld 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
a  e.  S  -> 
a  e.  RR ) )
7068sseld 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
b  e.  S  -> 
b  e.  RR ) )
7169, 70anim12d 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) ) )
7271imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )
73 letric 9683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  <_  b  \/  b  <_  a ) )
7547, 66, 74mpjaod 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( a  e.  S  /\  b  e.  S ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  A )
7675ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
77 breq1 4436 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  (
v  <_  A  <->  ( a  x.  b )  <_  A
) )
7877biimprcd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( a  x.  b )  <_  A  ->  (
v  =  ( a  x.  b )  -> 
v  <_  A )
)
7976, 78syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  ->  ( v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) ) )
8079rexlimdvv 2939 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  v  =  ( a  x.  b )  ->  v  <_  A ) )
819, 80syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
v  e.  T  -> 
v  <_  A )
)
8281ralrimiv 2853 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  T  v  <_  A )
834simpld 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
8442adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
85 suprleub 10508 . . . 4  |-  ( ( ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  A  e.  RR )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8683, 84, 85syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A  <->  A. v  e.  T  v  <_  A ) )
8782, 86mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
885, 87eqbrtrd 4453 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cab 2426    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    C_ wss 3458   (/)c0 3767   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   supcsup 7898   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   2c2 10586   RR+crp 11224   ^cexp 12140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-seq 12082  df-exp 12141
This theorem is referenced by:  sqrlem7  13056
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