MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem5 13054
Description: Lemma for 01sqrex 13057. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
sqrlem5.3  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, u, v, y, S    x, a, A, b, v, y   
v, B, y    u, T, v
Allowed substitution hints:    A( u)    B( x, u, a, b)    S( x)    T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 ssrab2 3567 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR+
31, 2eqsstri 3516 . . . . . . 7  |-  S  C_  RR+
43sseli 3482 . . . . . 6  |-  ( v  e.  S  ->  v  e.  RR+ )
54rpge0d 11264 . . . . 5  |-  ( v  e.  S  ->  0  <_  v )
65rgen 2801 . . . 4  |-  A. v  e.  S  0  <_  v
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. v  e.  S  0  <_  v )
8 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
91, 8sqrlem3 13052 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )
10 sqrlem5.3 . . . 4  |-  T  =  { y  |  E. a  e.  S  E. b  e.  S  y  =  ( a  x.  b ) }
11 pm4.24 643 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  S  0  <_  v  <->  ( A. v  e.  S  0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v
) )
12113anbi1i 1186 . . . 4  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  <->  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  A. v  e.  S  0  <_  v )  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) ) )
1310, 12supmullem2 10511 . . 3  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
147, 9, 9, 13syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v
) )
151, 8sqrlem4 13053 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
16 rpre 11230 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
1918recnd 9620 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  CC )
2019sqvald 12281 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
218, 8oveq12i 6289 . . . 4  |-  ( B  x.  B )  =  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
2210, 12supmul 10512 . . . . 5  |-  ( ( A. v  e.  S 
0  <_  v  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
)  /\  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  v
) )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
237, 9, 9, 22syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  x.  sup ( S ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2421, 23syl5eq 2494 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  x.  B )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2520, 24eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) )
2614, 25jca 532 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( T  C_  RR  /\  T  =/=  (/)  /\  E. v  e.  RR  A. u  e.  T  u  <_  v )  /\  ( B ^ 2 )  =  sup ( T ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cab 2426    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    C_ wss 3458   (/)c0 3767   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   supcsup 7898   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627   2c2 10586   RR+crp 11224   ^cexp 12140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-seq 12082  df-exp 12141
This theorem is referenced by:  sqrlem6  13055
  Copyright terms: Public domain W3C validator