MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem4 13059
Description: Lemma for 01sqrex 13063. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 sqrlem1.1 . . . . . 6  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
32, 1sqrlem3 13058 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
4 suprcl 10515 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
7 rpgt0 11243 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  A )
92, 1sqrlem2 13057 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
10 suprub 10516 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1211, 1syl6breqr 4493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  B )
13 rpre 11238 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
15 0re 9608 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
16 ltletr 9688 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
1715, 16mp3an1 1311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
1814, 6, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
198, 12, 18mp2and 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  B )
206, 19elrpd 11266 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR+ )
212, 1sqrlem1 13056 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. z  e.  S  z  <_  1 )
22 1re 9607 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 suprleub 10519 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  1  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
243, 22, 23sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
2521, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1 )
261, 25syl5eqbr 4486 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
2720, 26jca 532 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    < clt 9640    <_ cle 9641   2c2 10597   RR+crp 11232   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  sqrlem5  13060  sqrlem7  13062  01sqrex  13063
  Copyright terms: Public domain W3C validator