MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem4 12856
Description: Lemma for 01sqrex 12860. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 sqrlem1.1 . . . . . 6  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
32, 1sqrlem3 12855 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
4 suprcl 10404 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
7 rpgt0 11116 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  A )
92, 1sqrlem2 12854 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
10 suprub 10405 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1211, 1syl6breqr 4443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  B )
13 rpre 11111 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
15 0re 9500 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
16 ltletr 9580 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
1715, 16mp3an1 1302 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
1814, 6, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
198, 12, 18mp2and 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  B )
206, 19elrpd 11139 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR+ )
212, 1sqrlem1 12853 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. z  e.  S  z  <_  1 )
22 1re 9499 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 suprleub 10408 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  1  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
243, 22, 23sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
2521, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1 )
261, 25syl5eqbr 4436 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
2720, 26jca 532 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   supcsup 7804   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    < clt 9532    <_ cle 9533   2c2 10485   RR+crp 11105   ^cexp 11985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-seq 11927  df-exp 11986
This theorem is referenced by:  sqrlem5  12857  sqrlem7  12859  01sqrex  12860
  Copyright terms: Public domain W3C validator