MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem4 12727
Description: Lemma for 01sqrex 12731. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 sqrlem1.1 . . . . . 6  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
32, 1sqrlem3 12726 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
) )
4 suprcl 10282 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
61, 5syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR )
7 rpgt0 10994 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  A )
92, 1sqrlem2 12725 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
10 suprub 10283 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
1211, 1syl6breqr 4327 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  <_  B )
13 rpre 10989 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR )
15 0re 9378 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
16 ltletr 9458 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
1715, 16mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
1814, 6, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
198, 12, 18mp2and 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  0  <  B )
206, 19elrpd 11017 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  e.  RR+ )
212, 1sqrlem1 12724 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. z  e.  S  z  <_  1 )
22 1re 9377 . . . . 5  |-  1  e.  RR
23 suprleub 10286 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  y )  /\  1  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
243, 22, 23sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1  <->  A. z  e.  S  z  <_  1 ) )
2521, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  1 )
261, 25syl5eqbr 4320 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  B  <_  1 )
2720, 26jca 532 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   supcsup 7682   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    < clt 9410    <_ cle 9411   2c2 10363   RR+crp 10983   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  sqrlem5  12728  sqrlem7  12730  01sqrex  12731
  Copyright terms: Public domain W3C validator