MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem3 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem3 13276
Description: Lemma for 01sqrex 13281. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  z
) )
Distinct variable groups:    y, z, S    x, y, z, A   
y, B, z
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem3
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2 ssrab2 3543 . . . . 5  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR+
3 rpssre 11301 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
42, 3sstri 3470 . . . 4  |-  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }  C_  RR
51, 4eqsstri 3491 . . 3  |-  S  C_  RR
65a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  C_  RR )
7 sqrlem1.2 . . . 4  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
81, 7sqrlem2 13275 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
9 ne0i 3764 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  S  =/=  (/) )
11 1re 9631 . . 3  |-  1  e.  RR
121, 7sqrlem1 13274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. y  e.  S  y  <_  1 )
13 breq2 4421 . . . . 5  |-  ( z  =  1  ->  (
y  <_  z  <->  y  <_  1 ) )
1413ralbidv 2862 . . . 4  |-  ( z  =  1  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  z  <->  A. y  e.  S  y  <_  1 ) )
1514rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. y  e.  S  y  <_  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  z )
1611, 12, 15sylancr 667 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  z
)
176, 10, 163jca 1185 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  S  y  <_  z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   {crab 2777    C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   supcsup 7951   RRcr 9527   1c1 9529    < clt 9664    <_ cle 9665   2c2 10648   RR+crp 11291   ^cexp 12258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259
This theorem is referenced by:  sqrlem4  13277  sqrlem5  13278  sqrlem6  13279  sqrlem7  13280
  Copyright terms: Public domain W3C validator