Theorem sqrlem2 7924

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
sqrlem2	|- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Proof of Theorem sqrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		sqrlem1.2	. . . . 5 |- 0 < A
3	1, 2	sqrlem1 7923	. . . 4 |- A < ((1 + A) x. (1 + A))
4		1re 6598	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
5	4, 1	readdcli 6487	. . . . . . 7 |- (1 + A) e. RR
6	5, 5	remulcli 6488	. . . . . 6 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. RR
7	1, 6, 1	ltmul2i 7015	. . . . 5 |- (0 < A -> (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))))
8	2, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))))
9	3, 8	mpbi 206	. . 3 |- (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))
10	1, 1	remulcli 6488	. . . 4 |- (A x. A) e. RR
11	1, 6	remulcli 6488	. . . 4 |- (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) e. RR
12		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
13	12, 1, 6	lttri 6760	. . . . 5 |- ((0 < A /\ A < ((1 + A) x. (1 + A))) -> 0 < ((1 + A) x. (1 + A)))
14	2, 3, 13	mp2an 761	. . . 4 |- 0 < ((1 + A) x. (1 + A))
15	10, 11, 6, 14	ltdiv1ii 7001	. . 3 |- ((A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) <-> ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))))
16	9, 15	mpbi 206	. 2 |- ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
17	1	recni 6467	. . 3 |- A e. CC
18	5	recni 6467	. . 3 |- (1 + A) e. CC
19		lt01 6871	. . . . 5 |- 0 < 1
20	4, 1, 19, 2	addgt0ii 6781	. . . 4 |- 0 < (1 + A)
21	5, 20	gt0ne0ii 6799	. . 3 |- (1 + A) =/= 0
22	17, 18, 17, 18, 21, 21	divmuldivi 6963	. 2 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A)))
23	6	recni 6467	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. CC
24	6, 14	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) =/= 0
25	17, 23, 23, 24	divassi 6929	. . 3 |- ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))) = (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))))
26	23, 24	dividi 6946	. . . 4 |- (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))) = 1
27	26	opreq2i 4893	. . 3 |- (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A)))) = (A x. 1)
28	17	mulid1i 6485	. . 3 |- (A x. 1) = A
29	25, 27, 28	3eqtrri 1913	. 2 |- A = ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
30	16, 22, 29	3brtr4i 3365	1 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   < clt 6653

This theorem is referenced by:  sqrlem8 7930  sqrlem22 7944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892

Copyright terms: Public domain