MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem sqrlem2 13226
Description: Lemma for 01sqrex 13232. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem2
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpre 11271 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
3 rpgt0 11276 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
4 1re 9625 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 lemul1 10435 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( A  <_  1  <->  ( A  x.  A )  <_  ( 1  x.  A ) ) )
64, 5mp3an2 1314 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  x.  A )  <_  (
1  x.  A ) ) )
72, 2, 3, 6syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  x.  A )  <_  (
1  x.  A ) ) )
87biimpa 482 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A  x.  A )  <_  ( 1  x.  A
) )
9 rpcn 11273 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
109adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  CC )
11 sqval 12272 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
1211eqcomd 2410 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  A )  =  ( A ^
2 ) )
1310, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A  x.  A )  =  ( A ^
2 ) )
149mulid2d 9644 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  x.  A )  =  A )
1514adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
1  x.  A )  =  A )
168, 13, 153brtr3d 4424 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  ( A ^ 2 )  <_  A )
17 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
1817breq1d 4405 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( A ^ 2 )  <_  A ) )
19 sqrlem1.1 . . 3  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
2018, 19elrab2 3209 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  RR+  /\  ( A ^ 2 )  <_  A ) )
211, 16, 20sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   supcsup 7934   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659   2c2 10626   RR+crp 11265   ^cexp 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211
This theorem is referenced by:  sqrlem3  13227  sqrlem4  13228
  Copyright terms: Public domain W3C validator