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Theorem sqrlem1 13035
Description: Lemma for 01sqrex 13042. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. y  e.  S  y  <_  1 )
Distinct variable groups:    y, S    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
21breq1d 4457 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
3 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
42, 3elrab2 3263 . . 3  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
5 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  A )
6 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  A  <_  1 )
7 rpre 11222 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
87ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  y  e.  RR )
98resqcld 12300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
10 rpre 11222 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  A  e.  RR )
12 1re 9591 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 letr 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
2 )  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( y ^
2 )  <_  1
) )
1412, 13mp3an3 1313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  <_  A  /\  A  <_  1
)  ->  ( y ^ 2 )  <_ 
1 ) )
159, 11, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
( ( y ^
2 )  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( y ^
2 )  <_  1
) )
165, 6, 15mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  1 )
17 sq1 12226 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1816, 17syl6breqr 4487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
19 rpge0 11228 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
y )
2019ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  0  <_  y )
21 0le1 10072 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
22 le2sq 12206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( y  <_  1  <->  ( y ^
2 )  <_  (
1 ^ 2 ) ) )
2312, 21, 22mpanr12 685 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  -> 
( y  <_  1  <->  ( y ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
248, 20, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y  <_  1  <->  ( y ^ 2 )  <_ 
( 1 ^ 2 ) ) )
2518, 24mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  y  <_  1 )
2625ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( y  e.  RR+  /\  ( y ^ 2 )  <_  A )  ->  y  <_  1 ) )
274, 26syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  1 ) )
2827ralrimiv 2876 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. y  e.  S  y  <_  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    < clt 9624    <_ cle 9625   2c2 10581   RR+crp 11216   ^cexp 12130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131
This theorem is referenced by:  sqrlem3  13037  sqrlem4  13038
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