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Theorem sqrlem1 12820
Description: Lemma for 01sqrex 12827. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
sqrlem1.2  |-  B  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
sqrlem1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. y  e.  S  y  <_  1 )
Distinct variable groups:    y, S    x, y, A    y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    S( x)

Proof of Theorem sqrlem1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6183 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
21breq1d 4386 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  <_  A  <->  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
3 sqrlem1.1 . . . 4  |-  S  =  { x  e.  RR+  |  ( x ^ 2 )  <_  A }
42, 3elrab2 3202 . . 3  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^ 2 )  <_  A ) )
5 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  A )
6 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  A  <_  1 )
7 rpre 11084 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
87ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  y  e.  RR )
98resqcld 12121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
10 rpre 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
1110ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  A  e.  RR )
12 1re 9472 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 letr 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( y ^
2 )  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( y ^
2 )  <_  1
) )
1412, 13mp3an3 1304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ^ 2 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  <_  A  /\  A  <_  1
)  ->  ( y ^ 2 )  <_ 
1 ) )
159, 11, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
( ( y ^
2 )  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( y ^
2 )  <_  1
) )
165, 6, 15mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  1 )
17 sq1 12047 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1816, 17syl6breqr 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) )
19 rpge0 11090 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
y )
2019ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  0  <_  y )
21 0le1 9950 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
22 le2sq 12027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( y  <_  1  <->  ( y ^
2 )  <_  (
1 ^ 2 ) ) )
2312, 21, 22mpanr12 685 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <_  y )  -> 
( y  <_  1  <->  ( y ^ 2 )  <_  ( 1 ^ 2 ) ) )
248, 20, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  (
y  <_  1  <->  ( y ^ 2 )  <_ 
( 1 ^ 2 ) ) )
2518, 24mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  ( y ^
2 )  <_  A
) )  ->  y  <_  1 )
2625ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
( y  e.  RR+  /\  ( y ^ 2 )  <_  A )  ->  y  <_  1 ) )
274, 26syl5bi 217 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  1 ) )
2827ralrimiv 2880 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  A. y  e.  S  y  <_  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   {crab 2796   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176   supcsup 7777   RRcr 9368   0cc0 9369   1c1 9370    < clt 9505    <_ cle 9506   2c2 10458   RR+crp 11078   ^cexp 11952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-rp 11079  df-seq 11894  df-exp 11953
This theorem is referenced by:  sqrlem3  12822  sqrlem4  12823
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