MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrcn Structured version   Unicode version

Theorem sqrcn 22147
Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
sqrcn  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )

Proof of Theorem sqrcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrf 12847 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5741 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5105 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D ) )
5 sqrcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 difss 3480 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
75, 6eqsstri 3383 . . . . 5  |-  D  C_  CC
8 resmpt 5153 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
97, 8mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
107sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
1110adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
12 cxpsqr 22107 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1413eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  x )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
1514mpteq2dva 4375 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
164, 9, 153eqtrd 2477 . . 3  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1817cnfldtopon 20321 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
20 resttopon 18724 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2119, 7, 20sylancl 657 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2221cnmptid 19193 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  D ) ) )
23 ax-1cn 9336 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
24 halfcl 10546 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
2523, 24mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
2621, 19, 25cnmptc 19194 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  D )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  D )
285, 17, 27cxpcn 22142 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
30 oveq12 6099 . . . . 5  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^c  z )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
3121, 22, 26, 21, 19, 29, 30cnmpt12 19199 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
32 ssid 3372 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
3318toponunii 18496 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
3433restid 14368 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
3635eqcomi 2445 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3717, 27, 36cncfcn 20444 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
387, 32, 37mp2an 667 . . . 4  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3931, 38syl6eleqr 2532 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4016, 39eqeltrd 2515 . 2  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4140trud 1373 1  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    \ cdif 3322    C_ wss 3325    e. cmpt 4347    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279   -oocmnf 9412    / cdiv 9989   2c2 10367   (,]cioc 11297   sqrcsqr 12718   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787    tX ctx 19092   -cn->ccncf 20411    ^c ccxp 21966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator