MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrcn Structured version   Unicode version

Theorem sqrcn 22203
Description: Continuity of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
sqrcn  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )

Proof of Theorem sqrcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrf 12866 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5759 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5124 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D ) )
5 sqrcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
6 difss 3498 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( -oo (,] 0 ) )  C_  CC
75, 6eqsstri 3401 . . . . 5  |-  D  C_  CC
8 resmpt 5171 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
97, 8mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) ) )
107sseli 3367 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
12 cxpsqr 22163 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
1413eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  ( sqr `  x )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
1514mpteq2dva 4393 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( sqr `  x
) )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) ) )
164, 9, 153eqtrd 2479 . . 3  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c  ( 1  / 
2 ) ) ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1817cnfldtopon 20377 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
20 resttopon 18780 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2119, 7, 20sylancl 662 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  D )  e.  (TopOn `  D ) )
2221cnmptid 19249 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  D ) ) )
23 ax-1cn 9355 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
24 halfcl 10565 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
2523, 24mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
2621, 19, 25cnmptc 19250 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  D )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  D )
285, 17, 27cxpcn 22198 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( y  e.  D ,  z  e.  CC  |->  ( y  ^c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  D )  tX  ( TopOpen
` fld
) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
30 oveq12 6115 . . . . 5  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^c  z )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
3121, 22, 26, 21, 19, 29, 30cnmpt12 19255 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
32 ssid 3390 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
3318toponunii 18552 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
3433restid 14387 . . . . . . . 8  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
3635eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
3717, 27, 36cncfcn 20500 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
387, 32, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  D )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3931, 38syl6eleqr 2534 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  D  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4016, 39eqeltrd 2517 . 2  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC ) )
4140trud 1378 1  |-  ( sqr  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    \ cdif 3340    C_ wss 3343    e. cmpt 4365    |` cres 4857   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    e. cmpt2 6108   CCcc 9295   0cc0 9297   1c1 9298   -oocmnf 9431    / cdiv 10008   2c2 10386   (,]cioc 11316   sqrcsqr 12737   ↾t crest 14374   TopOpenctopn 14375  ℂfldccnfld 17833  TopOnctopon 18514    Cn ccn 18843    tX ctx 19148   -cn->ccncf 20467    ^c ccxp 22022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-tan 13372  df-pi 13373  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-cmp 19005  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023  df-cxp 22024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator