MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrcld Structured version   Unicode version

Theorem sqrcld 12935
Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqrcld  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem sqrcld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqrcl 12861 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   ` cfv 5430   CCcc 9292   sqrcsqr 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737
This theorem is referenced by:  msqsqrd  12938  pythagtriplem12  13905  pythagtriplem14  13907  pythagtriplem16  13909  tchcphlem1  20762  tchcph  20764  efif1olem3  22012  efif1olem4  22013  loglesqr  22208  quad  22247  dcubic  22253  cubic  22256  quartlem2  22265  quartlem3  22266  quartlem4  22267  quart  22268  asinlem  22275  asinlem2  22276  asinlem3a  22277  asinlem3  22278  asinf  22279  asinneg  22293  efiasin  22295  sinasin  22296  asinbnd  22306  cosasin  22311  efiatan2  22324  cosatan  22328  cosatanne0  22329  atans2  22338  sqsscirc1  26350  dvcnsqr  28490  dvasin  28492  dvacos  28493  areacirclem1  28496  areacirclem4  28499  areacirc  28501  pell1234qrne0  29206  pell1234qrreccl  29207  pell1234qrmulcl  29208  pell14qrgt0  29212  pell1234qrdich  29214  pell14qrdich  29222  pell1qr1  29224  rmspecsqrnq  29259  rmxyneg  29273  rmxyadd  29274  rmxy1  29275  rmxy0  29276  jm2.22  29356  stirlinglem3  29883  stirlinglem4  29884  stirlinglem13  29893  stirlinglem14  29894  stirlinglem15  29895
  Copyright terms: Public domain W3C validator