Theorem sqr2irrlem4 7977

Description: Lemma for irrationality of square root of 2.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem4.1	|- A e. NN
sqr2irrlem4.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem4	|- ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))

Proof of Theorem sqr2irrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem4.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
2	1	nncni 7115	. . . . . 6 |- A e. CC
3		sqr2irrlem4.2	. . . . . . 7 |- B e. NN
4	3	nncni 7115	. . . . . 6 |- B e. CC
5	3	nnne0i 7134	. . . . . 6 |- B =/= 0
6	2, 4, 5	sqdivi 7863	. . . . 5 |- ((A / B)^2) = ((A^2) / (B^2))
7	6	eqcomi 1888	. . . 4 |- ((A^2) / (B^2)) = ((A / B)^2)
8		2cn 7164	. . . . 5 |- 2 e. CC
9	3	nnsqcli 7910	. . . . . 6 |- (B^2) e. NN
10	9	nncni 7115	. . . . 5 |- (B^2) e. CC
11	9	nnne0i 7134	. . . . 5 |- (B^2) =/= 0
12	8, 10, 11	divcan4i 6935	. . . 4 |- ((2 x. (B^2)) / (B^2)) = 2
13	7, 12	eqeq12i 1897	. . 3 |- (((A^2) / (B^2)) = ((2 x. (B^2)) / (B^2)) <-> ((A / B)^2) = 2)
14	1	nnrei 7114	. . . . . 6 |- A e. RR
15	14	resqcli 7868	. . . . 5 |- (A^2) e. RR
16	15	recni 6467	. . . 4 |- (A^2) e. CC
17		2re 7163	. . . . . 6 |- 2 e. RR
18	9	nnrei 7114	. . . . . 6 |- (B^2) e. RR
19	17, 18	remulcli 6488	. . . . 5 |- (2 x. (B^2)) e. RR
20	19	recni 6467	. . . 4 |- (2 x. (B^2)) e. CC
21	16, 20, 10, 11	div11i 6940	. . 3 |- (((A^2) / (B^2)) = ((2 x. (B^2)) / (B^2)) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
22		eqcom 1886	. . 3 |- (((A / B)^2) = 2 <-> 2 = ((A / B)^2))
23	13, 21, 22	3bitr3i 198	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) <-> 2 = ((A / B)^2))
24		0re 6603	. . . 4 |- 0 e. RR
25		2pos 7173	. . . 4 |- 0 < 2
26	24, 17, 25	ltleii 6756	. . 3 |- 0 <_ 2
27	3	nnrei 7114	. . . . 5 |- B e. RR
28	14, 27, 5	redivcli 6976	. . . 4 |- (A / B) e. RR
29	28	sqge0i 7873	. . 3 |- 0 <_ ((A / B)^2)
30	28	resqcli 7868	. . . 4 |- ((A / B)^2) e. RR
31	17, 30	sqr11i 7953	. . 3 |- ((0 <_ 2 /\ 0 <_ ((A / B)^2)) -> ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> 2 = ((A / B)^2)))
32	26, 29, 31	mp2an 761	. 2 |- ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> 2 = ((A / B)^2))
33	1	nngt0i 7133	. . . . . 6 |- 0 < A
34	3	nngt0i 7133	. . . . . 6 |- 0 < B
35	14, 27, 33, 34	divgt0ii 7042	. . . . 5 |- 0 < (A / B)
36	24, 28, 35	ltleii 6756	. . . 4 |- 0 <_ (A / B)
37	28	sqrsqi 7970	. . . 4 |- (0 <_ (A / B) -> (sqr` ((A / B)^2)) = (A / B))
38	36, 37	ax-mp 7	. . 3 |- (sqr` ((A / B)^2)) = (A / B)
39	38	eqeq2i 1894	. 2 |- ((sqr` 2) = (sqr` ((A / B)^2)) <-> (sqr` 2) = (A / B))
40	23, 32, 39	3bitr2ri 197	1 |- ((sqr` 2) = (A / B) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  2c2 7145  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem5 7978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920

Copyright terms: Public domain