Theorem sqr2irrlem3 6727

Description: Main theorem for irrationality of square root of 2. There are no natural numbers such that the square of one is twice the square of the other. Uses strong induction.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem3	|- -. E.x e. NN E.y e. NN (x^2) = (2 x. (y^2))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem sqr2irrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (x^2) = (z^2))
2	1	eqeq1d 1486	. . . . . . 7 |- (x = z -> ((x^2) = (2 x. (y^2)) <-> (z^2) = (2 x. (y^2))))
3	2	negbid 613	. . . . . 6 |- (x = z -> (-. (x^2) = (2 x. (y^2)) <-> -. (z^2) = (2 x. (y^2))))
4	3	ralbidv 1666	. . . . 5 |- (x = z -> (A.y e. NN -. (x^2) = (2 x. (y^2)) <-> A.y e. NN -. (z^2) = (2 x. (y^2))))
5		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 |- (y = w -> (y^2) = (w^2))
6	5	opreq2d 3982	. . . . . . . 8 |- (y = w -> (2 x. (y^2)) = (2 x. (w^2)))
7	6	eqeq2d 1489	. . . . . . 7 |- (y = w -> ((z^2) = (2 x. (y^2)) <-> (z^2) = (2 x. (w^2))))
8	7	negbid 613	. . . . . 6 |- (y = w -> (-. (z^2) = (2 x. (y^2)) <-> -. (z^2) = (2 x. (w^2))))
9	8	cbvralv 1803	. . . . 5 |- (A.y e. NN -. (z^2) = (2 x. (y^2)) <-> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2)))
10	4, 9	syl6bb 538	. . . 4 |- (x = z -> (A.y e. NN -. (x^2) = (2 x. (y^2)) <-> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))))
11		breq1 2627	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = y -> (z < x <-> y < x))
12		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = y -> (z^2) = (y^2))
13	12	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = y -> ((z^2) = (2 x. (w^2)) <-> (y^2) = (2 x. (w^2))))
14	13	negbid 613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = y -> (-. (z^2) = (2 x. (w^2)) <-> -. (y^2) = (2 x. (w^2))))
15	14	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = y -> (A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2)) <-> A.w e. NN -. (y^2) = (2 x. (w^2))))
16	11, 15	imbi12d 628	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = y -> ((z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) <-> (y < x -> A.w e. NN -. (y^2) = (2 x. (w^2)))))
17	16	rcla4cva 1879	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) /\ y e. NN) -> (y < x -> A.w e. NN -. (y^2) = (2 x. (w^2))))
18		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = (x / 2) -> (w^2) = ((x / 2)^2))
19	18	opreq2d 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w = (x / 2) -> (2 x. (w^2)) = (2 x. ((x / 2)^2)))
20	19	eqeq2d 1489	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = (x / 2) -> ((y^2) = (2 x. (w^2)) <-> (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
21	20	negbid 613	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = (x / 2) -> (-. (y^2) = (2 x. (w^2)) <-> -. (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
22	21	rcla4cv 1877	. . . . . . . . . . 11 |- (A.w e. NN -. (y^2) = (2 x. (w^2)) -> ((x / 2) e. NN -> -. (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
23	17, 22	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- ((A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) /\ y e. NN) -> (y < x -> ((x / 2) e. NN -> -. (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2)))))
24	23	imp3a 361	. . . . . . . . 9 |- ((A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) /\ y e. NN) -> ((y < x /\ (x / 2) e. NN) -> -. (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
25		imnan 242	. . . . . . . . 9 |- (((y < x /\ (x / 2) e. NN) -> -. (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))) <-> -. ((y < x /\ (x / 2) e. NN) /\ (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
26	24, 25	sylib 198	. . . . . . . 8 |- ((A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) /\ y e. NN) -> -. ((y < x /\ (x / 2) e. NN) /\ (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
27	26	adantll 394	. . . . . . 7 |- (((x e. NN /\ A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2)))) /\ y e. NN) -> -. ((y < x /\ (x / 2) e. NN) /\ (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2))))
28		sqr2irrlem2 6726	. . . . . . . 8 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((x^2) = (2 x. (y^2)) -> ((y < x /\ (x / 2) e. NN) /\ (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2)))))
29	28	adantlr 395	. . . . . . 7 |- (((x e. NN /\ A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2)))) /\ y e. NN) -> ((x^2) = (2 x. (y^2)) -> ((y < x /\ (x / 2) e. NN) /\ (y^2) = (2 x. ((x / 2)^2)))))
30	27, 29	mtod 108	. . . . . 6 |- (((x e. NN /\ A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2)))) /\ y e. NN) -> -. (x^2) = (2 x. (y^2)))
31	30	exp31 378	. . . . 5 |- (x e. NN -> (A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) -> (y e. NN -> -. (x^2) = (2 x. (y^2)))))
32	31	r19.21adv 1721	. . . 4 |- (x e. NN -> (A.z e. NN (z < x -> A.w e. NN -. (z^2) = (2 x. (w^2))) -> A.y e. NN -. (x^2) = (2 x. (y^2))))
33	10, 32	indstr 6462	. . 3 |- (x e. NN -> A.y e. NN -. (x^2) = (2 x. (y^2)))
34		ralnex 1656	. . 3 |- (A.y e. NN -. (x^2) = (2 x. (y^2)) <-> -. E.y e. NN (x^2) = (2 x. (y^2)))
35	33, 34	sylib 198	. 2 |- (x e. NN -> -. E.y e. NN (x^2) = (2 x. (y^2)))
36	35	nrex 1732	1 |- -. E.x e. NN E.y e. NN (x^2) = (2 x. (y^2))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308   < clt 5498  2c2 5963  ^cexp 6569

This theorem is referenced by:  sqr2irr 6730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570

Copyright terms: Public domain