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Theorem sqr2irr 12803
Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrelqelz 13105 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 12802, which shows that if  A  /  B  =  sqr ( 2 ), then  A and  B are even, so  A  /  2 and  B  /  2 are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqr2irr  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ

Proof of Theorem sqr2irr
Dummy variables  x  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 9968 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
z  <  n  <->  z  <  1 ) )
32imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
43ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
5 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  (
z  <  n  <->  z  <  y ) )
65imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  y  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
76ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
8 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  n  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
98imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
109ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
11 nnnlt1 9986 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
1211pm2.21d 100 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) ) )
1312rgen 2731 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )
14 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
15 rphalflt 10594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  /  2 )  <  y )
17 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
z  <  y  <->  ( y  /  2 )  < 
y ) )
18 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
( y  /  2
) ) )
1918neeq2d 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  ( y  /  2 ) ) ) )
2019ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
2117, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( (
y  /  2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
2221rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2322com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  2 )  <  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2416, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )
26 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  CC )
28 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  CC )
30 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  e.  CC )
32 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  =/=  0
)
34 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  =/=  0
)
3627, 29, 31, 33, 35divcan7d 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) )  =  ( z  /  y ) )
3725, 36eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) )
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  ZZ )
39 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  NN )
4038, 39, 25sqr2irrlem 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  /\  ( y  /  2 )  e.  NN ) )
4140simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  NN )
4240simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( z  / 
2 )  e.  ZZ )
43 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
x  /  ( y  /  2 ) )  =  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) ) )
4443neeq2d 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
( z  /  2
)  /  ( y  /  2 ) ) ) )
4544rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) )  ->  ( sqr `  2 )  =/=  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) ) ) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4741, 46embantd 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4847necon2bd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( sqr `  2 )  =  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  (
y  /  2 ) ) ) ) )
4937, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  -.  ( (
y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
5150necon2ad 2615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( z  /  y ) ) )
5251ralrimdva 2756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
5324, 52syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
54 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  y )  =  ( z  / 
y ) )
5554neeq2d 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
z  /  y ) ) )
5655cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  y
)  <->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) )
5753, 56syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y ) ) )
58 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
y ) )
5958neeq2d 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  y ) ) )
6059ralbidv 2686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6160ceqsralv 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6257, 61sylibrd 226 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
6362ancld 537 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
64 nnleltp1 10285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
65 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
66 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
67 leloe 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6964, 68bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7069ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7170imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  \/  z  =  y )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
72 jaob 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  <  y  \/  z  =  y
)  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7371, 72syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
7473ralbidva 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
75 r19.26 2798 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  NN  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) )  <-> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7674, 75syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) )  /\  A. z  e.  NN  (
z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) ) )
7763, 76sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
784, 7, 10, 10, 13, 77nnind 9974 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
791, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
8066ltp1d 9897 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
81 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  <->  y  <  ( y  +  1 ) ) )
82 df-ne 2569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
8359, 82syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
8483ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
85 ralnex 2676 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  / 
y )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
8684, 85syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) )
8781, 86imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( y  <  ( y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8887rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( y  <  (
y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8979, 80, 88mp2d 43 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9089nrex 2768 . . 3  |-  -.  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y )
91 elq 10532 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
92 rexcom 2829 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
)  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9391, 92bitri 241 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
9490, 93mtbir 291 . 2  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
95 df-nel 2570 . 2  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
9694, 95mpbir 201 1  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    e/ wnel 2568   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   QQcq 10530   RR+crp 10568   sqrcsqr 11993
This theorem is referenced by:  nthruc  12805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996
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