MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr0lem Structured version   Unicode version

Theorem sqr0lem 12843
Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr0lem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )

Proof of Theorem sqr0lem
StepHypRef Expression
1 sqeq0 12042 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
21biimpa 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =  0 )  ->  A  =  0 )
323ad2antr1 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  ->  A  =  0 )
4 0re 9492 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 eleq1 2524 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
64, 5mpbiri 233 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  RR )
76recnd 9518 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  CC )
8 sq0i 12070 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A ^ 2 )  =  0 )
9 0le0 10517 . . . . 5  |-  0  <_  0
10 fveq2 5794 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
11 re0 12754 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1210, 11syl6eq 2509 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
139, 12syl5breqr 4431 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
14 rennim 12841 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
156, 14syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
168, 13, 153jca 1168 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) )
177, 16jca 532 . 2  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  CC  /\  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) ) )
183, 17impbii 188 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2646   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   _ici 9390    x. cmul 9393    <_ cle 9525   2c2 10477   RR+crp 11097   ^cexp 11977   Recre 12699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703
This theorem is referenced by:  sqr0  12844
  Copyright terms: Public domain W3C validator