MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr0lem Structured version   Unicode version

Theorem sqr0lem 13048
Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr0lem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )

Proof of Theorem sqr0lem
StepHypRef Expression
1 sqeq0 12206 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
21biimpa 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =  0 )  ->  A  =  0 )
323ad2antr1 1160 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  ->  A  =  0 )
4 0re 9594 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 eleq1 2513 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
64, 5mpbiri 233 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  RR )
76recnd 9620 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  CC )
8 sq0i 12234 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A ^ 2 )  =  0 )
9 0le0 10626 . . . . 5  |-  0  <_  0
10 fveq2 5852 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
11 re0 12959 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1210, 11syl6eq 2498 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
139, 12syl5breqr 4469 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
14 rennim 13046 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
156, 14syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
168, 13, 153jca 1175 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) )
177, 16jca 532 . 2  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  CC  /\  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) ) )
183, 17impbii 188 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    e/ wnel 2637   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   _ici 9492    x. cmul 9495    <_ cle 9627   2c2 10586   RR+crp 11224   ^cexp 12140   Recre 12904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908
This theorem is referenced by:  sqrt0  13049
  Copyright terms: Public domain W3C validator