MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr0lem Structured version   Unicode version

Theorem sqr0lem 12713
Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqr0lem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )

Proof of Theorem sqr0lem
StepHypRef Expression
1 sqeq0 11913 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
21biimpa 481 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =  0 )  ->  A  =  0 )
323ad2antr1 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  ->  A  =  0 )
4 0re 9373 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 eleq1 2493 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
64, 5mpbiri 233 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  RR )
76recnd 9399 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  A  e.  CC )
8 sq0i 11941 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A ^ 2 )  =  0 )
9 0le0 10398 . . . . 5  |-  0  <_  0
10 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  ( Re ` 
0 ) )
11 re0 12624 . . . . . 6  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1210, 11syl6eq 2481 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
Re `  A )  =  0 )
139, 12syl5breqr 4316 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  0  <_  ( Re `  A
) )
14 rennim 12711 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
156, 14syl 16 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  (
_i  x.  A )  e/  RR+ )
168, 13, 153jca 1161 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) )
177, 16jca 529 . 2  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  CC  /\  (
( A ^ 2 )  =  0  /\  0  <_  ( Re `  A )  /\  (
_i  x.  A )  e/  RR+ ) ) )
183, 17impbii 188 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  =  0  /\  0  <_  (
Re `  A )  /\  ( _i  x.  A
)  e/  RR+ ) )  <-> 
A  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    e/ wnel 2597   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   _ici 9271    x. cmul 9274    <_ cle 9406   2c2 10358   RR+crp 10978   ^cexp 11848   Recre 12569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573
This theorem is referenced by:  sqr0  12714
  Copyright terms: Public domain W3C validator