Theorem sqr0 7922

Description: Square root of zero.

Assertion

Ref	Expression
sqr0	|- (sqr` 0) = 0

Proof of Theorem sqr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . 3 |- 0 e. RR
2	1	leidi 6790	. . 3 |- 0 <_ 0
3		sqrval 7921	. . 3 |- ((0 e. RR /\ 0 <_ 0) -> (sqr` 0) = sup({x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)}, RR, < ))
4	1, 2, 3	mp2an 761	. 2 |- (sqr` 0) = sup({x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)}, RR, < )
5		lenlt 6679	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. x) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((x x. x) <_ 0 <-> -. 0 < (x x. x)))
6		remulcl 6457	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ x e. RR) -> (x x. x) e. RR)
7	6	anidms 480	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (x x. x) e. RR)
8	5, 7, 1	sylancl 525	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> ((x x. x) <_ 0 <-> -. 0 < (x x. x)))
9		msqgt0 6797	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ x =/= 0) -> 0 < (x x. x))
10	9	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (x =/= 0 -> 0 < (x x. x)))
11	10	necon1bd 2080	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (-. 0 < (x x. x) -> x = 0))
12	8, 11	sylbid 220	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((x x. x) <_ 0 -> x = 0))
13	12	adantld 426	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> ((0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0) -> x = 0))
14	13	imp 377	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)) -> x = 0)
15		0cn 6481	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
16	15	mul01i 6594	. . . . . . . . . 10 |- (0 x. 0) = 0
17	1, 1	remulcli 6488	. . . . . . . . . . 11 |- (0 x. 0) e. RR
18	17, 1	eqlei 6757	. . . . . . . . . 10 |- ((0 x. 0) = 0 -> (0 x. 0) <_ 0)
19	16, 18	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (0 x. 0) <_ 0
20	2, 19	pm3.2i 307	. . . . . . . 8 |- (0 <_ 0 /\ (0 x. 0) <_ 0)
21	1, 20	pm3.2i 307	. . . . . . 7 |- (0 e. RR /\ (0 <_ 0 /\ (0 x. 0) <_ 0))
22		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (x = 0 -> (x e. RR <-> 0 e. RR))
23		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = 0 -> (0 <_ x <-> 0 <_ 0))
24		opreq12 4891	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = 0 /\ x = 0) -> (x x. x) = (0 x. 0))
25	24	anidms 480	. . . . . . . . . 10 |- (x = 0 -> (x x. x) = (0 x. 0))
26	25	breq1d 3348	. . . . . . . . 9 |- (x = 0 -> ((x x. x) <_ 0 <-> (0 x. 0) <_ 0))
27	23, 26	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = 0 -> ((0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0) <-> (0 <_ 0 /\ (0 x. 0) <_ 0)))
28	22, 27	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = 0 -> ((x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)) <-> (0 e. RR /\ (0 <_ 0 /\ (0 x. 0) <_ 0))))
29	21, 28	mpbiri 211	. . . . . 6 |- (x = 0 -> (x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)))
30	14, 29	impbii 174	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)) <-> x = 0)
31	30	abbii 2006	. . . 4 |- {x | (x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0))} = {x | x = 0}
32		df-rab 2112	. . . 4 |- {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)} = {x | (x e. RR /\ (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0))}
33		df-sn 3049	. . . 4 |- {0} = {x | x = 0}
34	31, 32, 33	3eqtr4i 1921	. . 3 |- {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)} = {0}
35		supeq1 5665	. . 3 |- ({x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)} = {0} -> sup({x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)}, RR, < ) = sup({0}, RR, < ))
36	34, 35	ax-mp 7	. 2 |- sup({x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ 0)}, RR, < ) = sup({0}, RR, < )
37		ltso 6681	. . . 4 |- < Or RR
38	37	supsn 5681	. . 3 |- (0 e. RR -> sup({0}, RR, < ) = 0)
39	1, 38	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR, < ) = 0
40	4, 36, 39	3eqtri 1912	1 |- (sqr` 0) = 0

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  {crab 2108  {csn 3044   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  supcsup 5663  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653  sqrcsqr 7919

This theorem is referenced by:  sqrthi 7949  sqrcli 7950  sqrge0i 7952  sqr00 7964  normgt0OLD 10626  normgt0 10627  norm0 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-sqr 7920

Copyright terms: Public domain