MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqmuld Structured version   Unicode version

Theorem sqmuld 12032
Description: Distribution of square over multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulexpd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqmuld  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem sqmuld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulexpd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 sqmul 11941 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292    x. cmul 9299   2c2 10383   ^cexp 11877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-seq 11819  df-exp 11878
This theorem is referenced by:  sqrmul  12761  sqreulem  12859  pythagtriplem1  13895  prmreclem1  13989  ipcau2  20761  csbren  20910  chordthmlem4  22242  heron  22245  quad2  22246  dquart  22260  cxp2limlem  22381  basellem8  22437  lgsdir  22681  2sqlem3  22717  2sqlem4  22718  2sqlem8  22723  2sqblem  22728  axsegconlem9  23183  ax5seglem1  23186  ax5seglem2  23187  ax5seglem3  23189  rrndstprj2  28742  pellexlem6  29187  pell1234qrne0  29206  pell1234qrreccl  29207  pell1234qrmulcl  29208  pell14qrgt0  29212  pell14qrdich  29222  rmxyneg  29273  wallispi2lem1  29878  stirlinglem3  29883  stirlinglem10  29890
  Copyright terms: Public domain W3C validator