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Theorem sqlecan 11977
Description: Cancel one factor of a square in a  <_ comparison. Unlike lemul1 10186, the common factor  A may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 9391 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 leloe 9466 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 recn 9377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
5 sqval 11930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
76breq1d 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
) )
873ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
9 lemul1 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
108, 9bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) )
11103exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) ) ) )
1211exp4a 606 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) ) )
1312pm2.43a 49 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1413adantrd 468 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( 0  <  A  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1514com23 78 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
16 sq0 11962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
17 0le0 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  0
1816, 17eqbrtri 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  <_ 
0
19 recn 9377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2019mul01d 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
2118, 20syl5breqr 4333 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
23 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
24 oveq2 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  ( B  x.  0 )  =  ( B  x.  A ) )
2523, 24breq12d 4310 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  (
( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <-> 
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) ) )
2722, 26mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) )
2827adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) )
29 breq1 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  B  <->  A  <_  B ) )
3029biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  0  <_  B )  ->  A  <_  B )
3130adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  <_  B )
3228, 312thd 240 . . . . . 6  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
3332ex 434 . . . . 5  |-  ( 0  =  A  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3515, 34jaod 380 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
363, 35sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3736imp31 432 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424   2c2 10376   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-exp 11871
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