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Theorem sqlecan 12227
Description: Cancel one factor of a square in a  <_ comparison. Unlike lemul1 10353, the common factor  A may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 9544 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 leloe 9620 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 668 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 recn 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
5 sqval 12180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
76breq1d 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
) )
873ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
9 lemul1 10353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A ) ) )
108, 9bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) )
11103exp 1194 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) ) ) )
1211exp4a 604 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) ) )
1312pm2.43a 48 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <  A  -> 
( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1413adantrd 466 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( 0  <  A  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
1514com23 78 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
16 sq0 12212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
17 0le0 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  0
1816, 17eqbrtri 4411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ^ 2 )  <_ 
0
19 recn 9530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
2019mul01d 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  x.  0 )  =  0 )
2118, 20syl5breqr 4428 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
2221adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 ) )
23 oveq1 6239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
24 oveq2 6240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  A  ->  ( B  x.  0 )  =  ( B  x.  A ) )
2523, 24breq12d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  (
( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) ) )
2625adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0 ^ 2 )  <_  ( B  x.  0 )  <-> 
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) ) )
2722, 26mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A ) )
2827adantrr 715 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
) )
29 breq1 4395 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  B  <->  A  <_  B ) )
3029biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  =  A  /\  0  <_  B )  ->  A  <_  B )
3130adantrl 714 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  <_  B )
3228, 312thd 240 . . . . . 6  |-  ( ( 0  =  A  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
3332ex 432 . . . . 5  |-  ( 0  =  A  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3515, 34jaod 378 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
363, 35sylbid 215 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  ( ( A ^
2 )  <_  ( B  x.  A )  <->  A  <_  B ) ) ) )
3736imp31 430 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  <_ 
( B  x.  A
)  <->  A  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440    x. cmul 9445    < clt 9576    <_ cle 9577   2c2 10544   ^cexp 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-seq 12060  df-exp 12119
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