MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Unicode version

Theorem sqff1o 20918
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 
N to the powerset of the prime divisors of  N. Among other things, this implies that a number has  2 ^ k squarefree divisors where  k is the number of prime divisors, and a squarefree number has  2 ^ k divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to  F takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
sqff1o.2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
sqff1o.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqff1o  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Distinct variable groups:    n, p, x, G    n, N, p, x    S, n, p
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x, n, p)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables  k 
q  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
2 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
mmu `  x )  =  ( mmu `  n ) )
32neeq1d 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( mmu `  x
)  =/=  0  <->  (
mmu `  n )  =/=  0 ) )
4 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  N  <->  n  ||  N
) )
53, 4anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
75, 6elrab2 3054 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
87simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  /\  n  ||  N ) )
98simprd 450 . . . . . 6  |-  ( n  e.  S  ->  n  ||  N )
109ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  ||  N
)
11 prmz 13038 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1211adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
13 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  S
)
1413, 7sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
1514simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
1615nnzd 10330 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
17 nnz 10259 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1817ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
19 dvdstr 12838 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( p  ||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N ) )
2110, 20mpan2d 656 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  n  ->  p  ||  N
) )
2221ss2rabdv 3384 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
23 nnex 9962 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
24 prmnn 13037 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
2524ssriv 3312 . . . . . 6  |-  Prime  C_  NN
2623, 25ssexi 4308 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
2726rabex 4314 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  _V
2827elpw 3765 . . 3  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
2922, 28sylibr 204 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
30 1nn0 10193 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 0nn0 10192 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
3230, 31keepel 3756 . . . . . . . . 9  |-  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
3332rgenw 2733 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e. 
NN0
34 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
3534fmpt 5849 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0  <->  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
3633, 35mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
38 nn0ex 10183 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
3938, 26elmap 7001 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  <->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
4037, 39sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime ) )
41 fzfi 11266 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
42 ffn 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0  ->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime )
43 elpreima 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime  ->  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) 
<->  ( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) ) )
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  <-> 
( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) )
45 elequ1 1724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4645ifbid 3717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
4730, 31keepel 3756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
4847elexi 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
4946, 34, 48fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
5049eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN  <->  if (
x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN ) )
5150biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5244, 51sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
53 0nnn 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  e.  NN
54 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
5554eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  z  -> 
( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5653, 55mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  z  ->  -.  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5756con4i 124 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  e.  z )
5852, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  x  e.  z )
5958ssriv 3312 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  C_  z
60 elpwi 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  ->  z  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
6160adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
62 rabss2 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prime  C_  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N } )
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N }
64 sgmss 20842 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6564adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6663, 65syl5ss 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6761, 66sstrd 3318 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_  ( 1 ... N
) )
6859, 67syl5ss 3319 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )
69 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
7041, 68, 69sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
71 cnveq 5005 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  `' y  =  `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
7271imaeq1d 5161 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( `' y
" NN )  =  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
7372eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( ( `' y " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
7473elrab 3052 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  <->  ( (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
7540, 70, 74sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
76 sqff1o.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
77 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
7876, 771arith 13250 . . . . . 6  |-  G : NN
-1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
79 f1ocnv 5646 . . . . . 6  |-  ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } -1-1-onto-> NN )
80 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } -1-1-onto-> NN  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN )
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5  |-  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN
8281ffvelrni 5828 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
8375, 82syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
84 f1ocnvfv2 5974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
8578, 75, 84sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
86761arithlem1 13246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8783, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8885, 87eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8988fveq1d 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q
)  =  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q ) )
90 elequ1 1724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  q  ->  (
k  e.  z  <->  q  e.  z ) )
9190ifbid 3717 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  q  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9230, 31keepel 3756 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
9392elexi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
9491, 34, 93fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9589, 94sylan9req 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
96 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
97 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
98 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( q 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  e.  _V
9996, 97, 98fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10099adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10195, 100eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
102 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
103 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
104 1le1 9606 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
105 0le1 9507 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
106102, 103, 104, 105keephyp 3753 . . . . . . 7  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1
107101, 106syl6eqbrr 4210 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
108107ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
109 issqf 20872 . . . . . 6  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
11083, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
111108, 110mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0
)
112 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
113112adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
11461sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
115 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
p  ||  N  <->  q  ||  N ) )
116115elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } 
<->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
117114, 116sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
118117simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  ||  N )
119117simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  Prime )
120 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  N  e.  NN )
121 pcelnn 13198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  N
)  e.  NN  <->  q  ||  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( (
q  pCnt  N )  e.  NN  <->  q  ||  N
) )
123118, 122mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  pCnt  N )  e.  NN )
124123nnge1d 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  1  <_  ( q  pCnt  N )
)
125113, 124eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) )
126125ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
127126adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  e.  z  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
128 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  q  e.  Prime )
12917ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
130 pcge0 13190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( q  pCnt  N
) )
131128, 129, 130syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  0  <_  (
q  pCnt  N )
)
132 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
133132breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
)  <->  0  <_  (
q  pCnt  N )
) )
134131, 133syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
135127, 134pm2.61d 152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
136101, 135eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
137136ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
13883nnzd 10330 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ )
13917adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
140 pc2dvds 13207 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
141138, 139, 140syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
142137, 141mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
)
143111, 142jca 519 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
144 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( mmu `  x
)  =  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
145144neeq1d 2580 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( mmu `  x )  =/=  0  <->  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0 ) )
146 breq1 4175 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( x  ||  N  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
147145, 146anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
148147, 6elrab2 3054 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S  <->  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
14983, 143, 148sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S
)
150 eqcom 2406 . . 3  |-  ( n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n )
1517simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  n  e.  NN )
152151ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  n  e.  NN )
15326mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
15476fvmpt2 5771 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) )
155152, 153, 154sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( G `  n )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
156155eqeq1d 2412 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )
15778a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } )
15875adantrl 697 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
159 f1ocnvfvb 5976 . . . . 5  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  n  e.  NN  /\  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( G `
 n )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
160157, 152, 158, 159syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
16126a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  Prime  e. 
_V )
162 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  e.  CC )
164 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  1  e.  CC )
166 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
167166necomi 2649 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
168167a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  =/=  1 )
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 7171 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( z  e.  ~P Prime  /\  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
170 ssrab2 3388 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  Prime
171 sspwb 4373 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  Prime  <->  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_ 
~P Prime )
172170, 171mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  ~P Prime
173 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
174172, 173sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P Prime )
175174biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( z  e. 
~P Prime  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
176 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
177151adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  n  e.  NN )
178 pccl 13178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN0 )
179176, 177, 178syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  NN0 )
180 elnn0 10179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
181179, 180sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
182181orcomd 378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  e.  NN ) )
1838simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  S  ->  (
mmu `  n )  =/=  0 )
184183adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( mmu `  n
)  =/=  0 )
185 issqf 20872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  n )  <_  1
) )
186177, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( ( mmu `  n )  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  n )  <_  1 ) )
187184, 186mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
188187r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
189 nnle1eq1 9984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN  ->  ( (
p  pCnt  n )  <_  1  <->  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
190188, 189syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  ->  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) )
191190orim2d 814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( ( p  pCnt  n )  =  0  \/  (
p  pCnt  n )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  =  0  \/  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) ) )
192182, 191mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
193 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p 
pCnt  n )  e.  _V
194193elpr 3792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
195192, 194sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 } )
196 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )
197195, 196fmptd 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
198197adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
199 prex 4366 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
200199, 26elmap 7001 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  <-> 
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
201198, 200sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime ) )
202201biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
203169, 175, 2023bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) )
204196mptiniseg 5323 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 } )
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 }
206 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  =  1 )
207 1nn 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
208206, 207syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN )
209208, 190impbid2 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
( p  pCnt  n
)  e.  NN ) )
210 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
211 pcelnn 13198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  e.  NN  <->  p  ||  n
) )
212210, 15, 211syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  <->  p 
||  n ) )
213209, 212bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
p  ||  n )
)
214213rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n
)  =  1 }  =  { p  e. 
Prime  |  p  ||  n } )
215214adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p 
pCnt  n )  =  1 }  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n } )
216205, 215syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } )  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
217216eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
218203, 217bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
219156, 160, 2183bitr3d 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
220150, 219syl5bb 249 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
2211, 29, 149, 220f1o2d 6255 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165   mmucmu 20830
This theorem is referenced by:  musum  20929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-mu 20836
  Copyright terms: Public domain W3C validator