MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Structured version   Unicode version

Theorem sqeqor 11992
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 6110 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 ) )
21eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
3 eqeq1 2449 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  B  <-> 
if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  B ) )
4 eqeq1 2449 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  -u B 
<->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u B ) )
53, 4orbi12d 709 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  =  B  \/  A  = 
-u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) )
62, 5bibi12d 321 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) ) )
7 oveq1 6110 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 ) )
87eqeq2d 2454 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 ) ) )
9 eqeq2 2452 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  <->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
10 negeq 9614 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  ->  -u B  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )
1110eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  = 
-u B  <->  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
129, 11orbi12d 709 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
138, 12bibi12d 321 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ) )
14 0cn 9390 . . . 4  |-  0  e.  CC
1514elimel 3864 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1614elimel 3864 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1715, 16sqeqori 11990 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
186, 13, 17dedth2h 3854 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3803  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   -ucneg 9608   2c2 10383   ^cexp 11877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-seq 11819  df-exp 11878
This theorem is referenced by:  sqeqd  12667  sqrmo  12753  eqsqror  12866  4sqlem10  14020  cxpsqr  22160  quad2  22246  atandm3  22285  atans2  22338  dvasin  28492  dvacos  28493
  Copyright terms: Public domain W3C validator