Theorem sqcn 9674

Description: The square function on complex numbers is continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
sqcn.2	|- D = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
sqcn.j	|- J = (Open` D)
sqcn.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x^2))}

Assertion

Ref	Expression
sqcn	|- F e. (J Cn J)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem sqcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqcn.2	. . . . 5 |- D = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
2		eqid 1884	. . . . . 6 |- <.<. + , x. >., abs>. = <.<. + , x. >., abs>.
3		eqid 1884	. . . . . 6 |- (abs o. - ) = (abs o. - )
4	2, 3	cnims 9666	. . . . 5 |- (abs o. - ) = (IndMet` <.<. + , x. >., abs>.)
5	1, 4	eqtr4i 1911	. . . 4 |- D = (abs o. - )
6	5	cnmet 9182	. . 3 |- D e. Met
7		sqcn.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (x^2))}
8		sqcl 7856	. . . 4 |- (x e. CC -> (x^2) e. CC)
9	7, 8	fopab 4800	. . 3 |- F:CC-->CC
10	5	cnmetba 9181	. . . 4 |- CC = dom dom D
11		sqcn.j	. . . 4 |- J = (Open` D)
12		eqid 1884	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} = {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}
13	10, 10, 11, 11, 12	metcn4 9249	. . 3 |- ((D e. Met /\ D e. Met /\ F:CC-->CC) -> (F e. (J Cn J) <-> A.f(f:NN-->CC -> A.z e. CC (f(~~>m` D)z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z)))))
14	6, 6, 9, 13	mp3an 1191	. 2 |- (F e. (J Cn J) <-> A.f(f:NN-->CC -> A.z e. CC (f(~~>m` D)z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z))))
15		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
16		nnex 7116	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
17	16	opabex2 4539	. . . . . . . . . 10 |- {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} e. _V
18		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19	15, 15, 17, 18, 18	climmul 8388	. . . . . . . . 9 |- (((f ~~> z /\ f ~~> z) /\ (1 e. ZZ /\ A.u e. (ZZ>=` 1)((f` u) e. CC /\ (f` u) e. CC /\ ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u))))) -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (z x. z))
20		id 73	. . . . . . . . . 10 |- (f ~~> z -> f ~~> z)
21	20	ancli 320	. . . . . . . . 9 |- (f ~~> z -> (f ~~> z /\ f ~~> z))
22		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->CC /\ u e. NN) -> (f` u) e. CC)
23		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = u -> (f` w) = (f` u))
24	23	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = u -> (F` (f` w)) = (F` (f` u)))
25		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F` (f` u)) e. _V
26	24, 12, 25	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u e. NN -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = (F` (f` u)))
27	26	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:NN-->CC /\ u e. NN) -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = (F` (f` u)))
28		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (f` u) -> (x^2) = ((f` u)^2))
29		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((f` u)^2) e. _V
30	28, 7, 29	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f` u) e. CC -> (F` (f` u)) = ((f` u)^2))
31		sqval 7854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((f` u) e. CC -> ((f` u)^2) = ((f` u) x. (f` u)))
32	30, 31	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f` u) e. CC -> (F` (f` u)) = ((f` u) x. (f` u)))
33	22, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f:NN-->CC /\ u e. NN) -> (F` (f` u)) = ((f` u) x. (f` u)))
34	27, 33	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f:NN-->CC /\ u e. NN) -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u)))
35	22, 22, 34	3jca 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f:NN-->CC /\ u e. NN) -> ((f` u) e. CC /\ (f` u) e. CC /\ ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u))))
36		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . 12 |- (u e. NN <-> u e. (ZZ>=` 1))
37	35, 36	sylan2br 502	. . . . . . . . . . 11 |- ((f:NN-->CC /\ u e. (ZZ>=` 1)) -> ((f` u) e. CC /\ (f` u) e. CC /\ ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u))))
38	37	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . 10 |- (f:NN-->CC -> A.u e. (ZZ>=` 1)((f` u) e. CC /\ (f` u) e. CC /\ ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u))))
39		1z 7368	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
40	38, 39	jctil 316	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->CC -> (1 e. ZZ /\ A.u e. (ZZ>=` 1)((f` u) e. CC /\ (f` u) e. CC /\ ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}` u) = ((f` u) x. (f` u)))))
41	19, 21, 40	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((f ~~> z /\ f:NN-->CC) -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (z x. z))
42	41	adantrl 430	. . . . . . 7 |- ((f ~~> z /\ (z e. CC /\ f:NN-->CC)) -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (z x. z))
43		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> (x^2) = (z^2))
44		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- (z^2) e. _V
45	43, 7, 44	fvopab4 4743	. . . . . . . . 9 |- (z e. CC -> (F` z) = (z^2))
46		sqval 7854	. . . . . . . . 9 |- (z e. CC -> (z^2) = (z x. z))
47	45, 46	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (z e. CC -> (F` z) = (z x. z))
48	47	ad2antrl 442	. . . . . . 7 |- ((f ~~> z /\ (z e. CC /\ f:NN-->CC)) -> (F` z) = (z x. z))
49	42, 48	breqtrrd 3363	. . . . . 6 |- ((f ~~> z /\ (z e. CC /\ f:NN-->CC)) -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z))
50	49	expcom 403	. . . . 5 |- ((z e. CC /\ f:NN-->CC) -> (f ~~> z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z)))
51	5	lmclimnn 9242	. . . . 5 |- ((z e. CC /\ f:NN-->CC) -> (f(~~>m` D)z <-> f ~~> z))
52		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . 10 |- ((f:NN-->CC /\ w e. NN) -> (f` w) e. CC)
53	9	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . 10 |- ((f` w) e. CC -> (F` (f` w)) e. CC)
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((f:NN-->CC /\ w e. NN) -> (F` (f` w)) e. CC)
55	54	r19.21aiva 2176	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->CC -> A.w e. NN (F` (f` w)) e. CC)
56	12	fopab2 4796	. . . . . . . 8 |- (A.w e. NN (F` (f` w)) e. CC <-> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}:NN-->CC)
57	55, 56	sylib 215	. . . . . . 7 |- (f:NN-->CC -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}:NN-->CC)
58		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- (F` z) e. _V
59	5	lmclimnn 9242	. . . . . . . 8 |- (((F` z) e. _V /\ {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}:NN-->CC) -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z) <-> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z)))
60	58, 59	mpan 759	. . . . . . 7 |- ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))}:NN-->CC -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z) <-> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z)))
61	57, 60	syl 12	. . . . . 6 |- (f:NN-->CC -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z) <-> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z)))
62	61	adantl 424	. . . . 5 |- ((z e. CC /\ f:NN-->CC) -> ({<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z) <-> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} ~~> (F` z)))
63	50, 51, 62	3imtr4d 602	. . . 4 |- ((z e. CC /\ f:NN-->CC) -> (f(~~>m` D)z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z)))
64	63	ancoms 484	. . 3 |- ((f:NN-->CC /\ z e. CC) -> (f(~~>m` D)z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z)))
65	64	r19.21aiva 2176	. 2 |- (f:NN-->CC -> A.z e. CC (f(~~>m` D)z -> {<.w, v>. | (w e. NN /\ v = (F` (f` w)))} (~~>m` D)(F` z)))
66	14, 65	mpgbir 1334	1 |- F e. (J Cn J)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  NNcn 6449  ZZcz 6451  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  abscabs 8000   ~~> cli 8234   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  ~~>mclm 9197  IndMetcims 9542

This theorem is referenced by:  sqcn2 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552

Copyright terms: Public domain