MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Unicode version

Theorem sqcld 12411
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqcl 12334 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   CCcc 9536   2c2 10659   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  recval  13364  arisum2  13897  fsumcube  14091  efi4p  14169  sincossq  14208  cos2t  14210  cos2tsin  14211  sqr2irrlem  14278  pythagtriplem1  14729  pythagtriplem2  14730  pythagtriplem6  14734  pythagtriplem7  14735  pythagtriplem12  14739  pythagtriplem14  14741  4sqlem7  14851  4sqlem10  14854  4sqlem14OLD  14865  4sqlem14  14871  csbren  22246  rrxmval  22252  rrxmetlem  22254  dveflem  22808  coskpi  23340  coseq1  23342  tanregt0  23353  efif1olem4  23359  tanarg  23433  lawcoslem1  23609  lawcos  23610  pythag  23611  ssscongptld  23616  chordthmlem3  23625  chordthmlem4  23626  chordthmlem5  23627  heron  23629  quad2  23630  quad  23631  dcubic1lem  23634  dcubic2  23635  dcubic1  23636  dcubic  23637  mcubic  23638  cubic2  23639  cubic  23640  binom4  23641  dquartlem1  23642  dquartlem2  23643  dquart  23644  quart1cl  23645  quart1lem  23646  quart1  23647  quartlem1  23648  quartlem2  23649  quartlem4  23651  quart  23652  asinlem3  23662  asinneg  23677  asinsin  23683  atandmcj  23700  efiatan2  23708  atandmtan  23711  cosatan  23712  cosatanne0  23713  dvatan  23726  cxp2limlem  23766  lgamgulmlem4  23822  basellem8  23877  lgsdir  24121  2sqlem4  24158  2sqlem11  24166  mulog2sumlem2  24236  mulog2sumlem3  24237  logsqvma  24243  selberglem1  24246  selberglem3  24248  selberg  24249  logdivbnd  24257  pntlemf  24306  pntlemk  24307  pntlemo  24308  ax5seglem1  24804  ax5seglem2  24805  ax5seglem6  24810  ax5seglem9  24813  axlowdimlem16  24833  axlowdimlem17  24834  4ipval2  26189  ipidsq  26194  cncph  26305  hhph  26666  eigvalcl  27449  bhmafibid2  28244  2sqn0  28245  2sqmod  28247  sin2h  31639  cos2h  31640  tan2h  31641  dvtan  31696  dvasin  31732  dvacos  31733  areacirclem1  31736  areacirclem2  31737  areacirclem4  31739  areacirc  31741  ismrer1  31874  pellexlem1  35383  pellexlem2  35384  pellexlem6  35388  pell1qrge1  35424  pell1qrgaplem  35427  rmspecsqrtnq  35460  rmxdbl  35493  jm2.18  35549  jm2.19lem1  35550  jm2.25  35560  jm2.27c  35568  dvrecg  37354  dvmptdiv  37361  dvdivf  37366  dvdivbd  37367  itgsinexplem1  37399  itgsinexp  37400  wallispi2lem1  37502  wallispi2lem2  37503  wallispi2  37504  stirlinglem1  37505  stirlinglem3  37507  stirlinglem8  37512  stirlinglem10  37514  stirlinglem15  37519  onetansqsecsq  39242  cotsqcscsq  39243
  Copyright terms: Public domain W3C validator