MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Unicode version

Theorem sqcld 12275
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqcl 12197 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6283   CCcc 9489   2c2 10584   ^cexp 12133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-seq 12075  df-exp 12134
This theorem is referenced by:  recval  13117  arisum2  13634  sincossq  13771  cos2t  13773  cos2tsin  13774  sqr2irrlem  13841  pythagtriplem1  14198  pythagtriplem2  14199  pythagtriplem6  14203  pythagtriplem7  14204  pythagtriplem12  14208  pythagtriplem14  14210  4sqlem7  14320  4sqlem10  14323  4sqlem14  14334  csbren  21577  rrxmval  21583  rrxmetlem  21585  dveflem  22131  coskpi  22662  coseq1  22664  tanregt0  22675  efif1olem4  22681  tanarg  22748  lawcoslem1  22891  lawcos  22892  pythag  22893  ssscongptld  22900  chordthmlem3  22909  chordthmlem4  22910  chordthmlem5  22911  heron  22913  quad2  22914  quad  22915  dcubic1lem  22918  dcubic2  22919  dcubic1  22920  dcubic  22921  mcubic  22922  cubic2  22923  cubic  22924  binom4  22925  dquartlem1  22926  dquartlem2  22927  dquart  22928  quart1cl  22929  quart1lem  22930  quart1  22931  quartlem1  22932  quartlem2  22933  quartlem4  22935  quart  22936  asinlem3  22946  asinneg  22961  asinsin  22967  atandmcj  22984  efiatan2  22992  atandmtan  22995  cosatan  22996  cosatanne0  22997  dvatan  23010  cxp2limlem  23049  basellem8  23105  lgsdir  23349  2sqlem4  23386  2sqlem11  23394  mulog2sumlem2  23464  mulog2sumlem3  23465  logsqvma  23471  selberglem1  23474  selberglem3  23476  selberg  23477  logdivbnd  23485  pntlemf  23534  pntlemk  23535  pntlemo  23536  ax5seglem1  23923  ax5seglem2  23924  ax5seglem6  23929  ax5seglem9  23932  axlowdimlem16  23952  axlowdimlem17  23953  4ipval2  25310  ipidsq  25315  cncph  25426  hhph  25787  eigvalcl  26572  lgamgulmlem4  28230  fsumcube  29415  sin2h  29638  cos2h  29639  tan2h  29640  dvtan  29658  dvasin  29696  dvacos  29697  areacirclem1  29700  areacirclem2  29701  areacirclem4  29703  areacirc  29705  ismrer1  29953  pellexlem1  30385  pellexlem2  30386  pellexlem6  30390  pell1qrge1  30426  pell1qrgaplem  30429  rmspecsqrtnq  30462  rmxdbl  30495  jm2.18  30550  jm2.19lem1  30551  jm2.25  30561  jm2.27c  30569  dvrecg  31256  dvmptdiv  31263  dvdivbd  31269  itgsinexplem1  31287  itgsinexp  31288  wallispi2lem1  31387  wallispi2lem2  31388  wallispi2  31389  stirlinglem1  31390  stirlinglem3  31392  stirlinglem8  31397  stirlinglem10  31399  stirlinglem15  31404  onetansqsecsq  32245  cotsqcscsq  32246
  Copyright terms: Public domain W3C validator