MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sqcld 12446
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqcl 12369 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898  (class class class)co 6315   CCcc 9563   2c2 10687   ^cexp 12304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-seq 12246  df-exp 12305
This theorem is referenced by:  recval  13434  arisum2  13968  fsumcube  14162  efi4p  14240  sincossq  14279  cos2t  14281  cos2tsin  14282  sqr2irrlem  14349  pythagtriplem1  14815  pythagtriplem2  14816  pythagtriplem6  14820  pythagtriplem7  14821  pythagtriplem12  14825  pythagtriplem14  14827  4sqlem7  14937  4sqlem10  14940  4sqlem14OLD  14951  4sqlem14  14957  csbren  22402  rrxmval  22408  rrxmetlem  22410  dveflem  22980  coskpi  23524  coseq1  23526  tanregt0  23537  efif1olem4  23543  tanarg  23617  lawcoslem1  23793  lawcos  23794  pythag  23795  ssscongptld  23800  chordthmlem3  23809  chordthmlem4  23810  chordthmlem5  23811  heron  23813  quad2  23814  quad  23815  dcubic1lem  23818  dcubic2  23819  dcubic1  23820  dcubic  23821  mcubic  23822  cubic2  23823  cubic  23824  binom4  23825  dquartlem1  23826  dquartlem2  23827  dquart  23828  quart1cl  23829  quart1lem  23830  quart1  23831  quartlem1  23832  quartlem2  23833  quartlem4  23835  quart  23836  asinlem3  23846  asinneg  23861  asinsin  23867  atandmcj  23884  efiatan2  23892  atandmtan  23895  cosatan  23896  cosatanne0  23897  dvatan  23910  cxp2limlem  23950  lgamgulmlem4  24006  basellem8  24063  lgsdir  24307  2sqlem4  24344  2sqlem11  24352  mulog2sumlem2  24422  mulog2sumlem3  24423  logsqvma  24429  selberglem1  24432  selberglem3  24434  selberg  24435  logdivbnd  24443  pntlemf  24492  pntlemk  24493  pntlemo  24494  ax5seglem1  25007  ax5seglem2  25008  ax5seglem6  25013  ax5seglem9  25016  axlowdimlem16  25036  axlowdimlem17  25037  4ipval2  26393  ipidsq  26398  cncph  26509  hhph  26880  eigvalcl  27663  bhmafibid2  28455  2sqn0  28456  2sqmod  28458  sin2h  31980  cos2h  31981  tan2h  31982  dvtan  32037  dvasin  32073  dvacos  32074  areacirclem1  32077  areacirclem2  32078  areacirclem4  32080  areacirc  32082  ismrer1  32215  pellexlem1  35718  pellexlem2  35719  pellexlem6  35723  pell1qrge1  35761  pell1qrgaplem  35764  rmspecsqrtnq  35799  rmxdbl  35832  jm2.18  35888  jm2.19lem1  35889  jm2.25  35899  jm2.27c  35907  dvrecg  37820  dvmptdiv  37827  dvdivf  37832  dvdivbd  37833  itgsinexplem1  37868  itgsinexp  37869  wallispi2lem1  37971  wallispi2lem2  37972  wallispi2  37973  stirlinglem1  37974  stirlinglem3  37976  stirlinglem8  37981  stirlinglem10  37983  stirlinglem15  37988  rrxtopnfi  38193  hoiqssbllem2  38483  onetansqsecsq  40754  cotsqcscsq  40755
  Copyright terms: Public domain W3C validator