Theorem spwval 10002

Description: Value of a supremum.

Hypotheses

Ref	Expression
spwval.1	|- X = dom R
spwval.2	|- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))

Assertion

Ref	Expression
spwval	|- ((R e. Poset /\ A e. W /\ E.x e. X ph) -> (R supw A) = U.{x e. X | ph})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,X,y

Proof of Theorem spwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- U.U.R = U.U.R
2		biid 187	. . . . 5 |- ((A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy)) <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy)))
3	1, 2	spwval3 9997	. . . 4 |- ((R e. Poset /\ A e. W /\ E.x e. U.U.R(A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))) -> (R supw A) = U.{x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))})
4	3	3expib 1070	. . 3 |- (R e. Poset -> ((A e. W /\ E.x e. U.U.R(A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))) -> (R supw A) = U.{x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))}))
5		psdmrn 9991	. . . . . . 7 |- (R e. Poset -> (dom R = U.U.R /\ ran R = U.U.R))
6	5	simplld 348	. . . . . 6 |- (R e. Poset -> dom R = U.U.R)
7		spwval.1	. . . . . 6 |- X = dom R
8	6, 7	syl5eq 1940	. . . . 5 |- (R e. Poset -> X = U.U.R)
9		raleq 2266	. . . . . . . 8 |- (X = U.U.R -> (A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy) <-> A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy)))
10	9	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> ((A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)) <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))))
11		spwval.2	. . . . . . 7 |- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))
12	10, 11	syl5bb 591	. . . . . 6 |- (X = U.U.R -> (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))))
13	12	rexeqbi1dv 2272	. . . . 5 |- (X = U.U.R -> (E.x e. X ph <-> E.x e. U.U.R(A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))))
14	8, 13	syl 12	. . . 4 |- (R e. Poset -> (E.x e. X ph <-> E.x e. U.U.R(A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))))
15	14	anbi2d 678	. . 3 |- (R e. Poset -> ((A e. W /\ E.x e. X ph) <-> (A e. W /\ E.x e. U.U.R(A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy)))))
16		rabeq 2289	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> {x e. X | ph} = {x e. U.U.R | ph})
17	12	rabbidv 2287	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> {x e. U.U.R | ph} = {x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))})
18	16, 17	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (X = U.U.R -> {x e. X | ph} = {x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))})
19	8, 18	syl 12	. . . . 5 |- (R e. Poset -> {x e. X | ph} = {x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))})
20	19	unieqd 3188	. . . 4 |- (R e. Poset -> U.{x e. X | ph} = U.{x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))})
21	20	eqeq2d 1895	. . 3 |- (R e. Poset -> ((R supw A) = U.{x e. X | ph} <-> (R supw A) = U.{x e. U.U.R | (A.y e. A yRx /\ A.y e. U.U.R(A.z e. A zRy -> xRy))}))
22	4, 15, 21	3imtr4d 602	. 2 |- (R e. Poset -> ((A e. W /\ E.x e. X ph) -> (R supw A) = U.{x e. X | ph}))
23	22	3impib 1065	1 |- ((R e. Poset /\ A e. W /\ E.x e. X ph) -> (R supw A) = U.{x e. X | ph})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987  (class class class)co 4884  Posetcps 9980   sup_w cspw 9981

This theorem is referenced by:  spwcl 10003  spwpr4 10006  spwpr4OLD 10007  spwpr4aOLD 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-ps 9984  df-spw 9985

Copyright terms: Public domain