Theorem spweu 10000

Description: A supremum is unique.

Hypothesis

Ref	Expression
spwmo.1	|- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))

Assertion

Ref	Expression
spweu	|- ((R e. Poset /\ E.x e. X ph) -> E!x e. X ph)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,X,y

Proof of Theorem spweu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spwmo.1	. . . . 5 |- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))
2	1	spwmo 9999	. . . 4 |- (R e. Poset -> E*x(x e. X /\ ph))
3	2	anim2i 362	. . 3 |- ((E.x e. X ph /\ R e. Poset) -> (E.x e. X ph /\ E*x(x e. X /\ ph)))
4		reu5 2441	. . 3 |- (E!x e. X ph <-> (E.x e. X ph /\ E*x(x e. X /\ ph)))
5	3, 4	sylibr 217	. 2 |- ((E.x e. X ph /\ R e. Poset) -> E!x e. X ph)
6	5	ancoms 484	1 |- ((R e. Poset /\ E.x e. X ph) -> E!x e. X ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E*wmo 1772  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107   class class class wbr 3338  Posetcps 9980

This theorem is referenced by:  spwcl 10003  spwpr4 10006  spwpr4OLD 10007  spwpr4aOLD 10008  supdef 14604

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-res 4006  df-ps 9984

Copyright terms: Public domain