Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthon Structured version   Unicode version

Theorem spthon 23653
 Description: The set of simple paths between two vertices (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
spthon SPathOn WalkOn SPaths
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem spthon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3087 . . . . 5
21ad2antrr 725 . . . 4
3 elex 3087 . . . . . 6
43adantl 466 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
6 id 22 . . . . . . 7
76ancli 551 . . . . . 6
87ad2antrr 725 . . . . 5
9 mpt2exga 6762 . . . . 5 WalkOn SPaths
108, 9syl 16 . . . 4 WalkOn SPaths
11 simpl 457 . . . . . 6
12 oveq12 6212 . . . . . . . . . 10 WalkOn WalkOn
1312oveqd 6220 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
1413breqd 4414 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
15 oveq12 6212 . . . . . . . . 9 SPaths SPaths
1615breqd 4414 . . . . . . . 8 SPaths SPaths
1714, 16anbi12d 710 . . . . . . 7 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
1817opabbidv 4466 . . . . . 6 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
1911, 11, 18mpt2eq123dv 6260 . . . . 5 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
20 df-spthon 23596 . . . . 5 SPathOn WalkOn SPaths
2119, 20ovmpt2ga 6333 . . . 4 WalkOn SPaths SPathOn WalkOn SPaths
222, 5, 10, 21syl3anc 1219 . . 3 SPathOn WalkOn SPaths
2322oveqd 6220 . 2 SPathOn WalkOn SPaths
24 simpl 457 . . . 4
2524adantl 466 . . 3
26 simprr 756 . . 3
27 ancom 450 . . . . . . 7 WalkOn SPaths SPaths WalkOn
2827a1i 11 . . . . . 6 WalkOn SPaths SPaths WalkOn
2928opabbidv 4466 . . . . 5 WalkOn SPaths SPaths WalkOn
30 spthispth 23644 . . . . . . . 8 SPaths Paths
31 pthistrl 23643 . . . . . . . 8 Paths Trails
32 trliswlk 23610 . . . . . . . 8 Trails Walks
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . 7 SPaths Walks
3433wlkres 23600 . . . . . 6 SPaths WalkOn
351, 3, 34syl2an 477 . . . . 5 SPaths WalkOn
3629, 35eqeltrd 2542 . . . 4 WalkOn SPaths
3736adantr 465 . . 3 WalkOn SPaths
38 oveq12 6212 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
3938breqd 4414 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
4039anbi1d 704 . . . . 5 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
4140opabbidv 4466 . . . 4 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
42 eqid 2454 . . . 4 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
4341, 42ovmpt2ga 6333 . . 3 WalkOn SPaths WalkOn SPaths WalkOn SPaths
4425, 26, 37, 43syl3anc 1219 . 2 WalkOn SPaths WalkOn SPaths
4523, 44eqtrd 2495 1 SPathOn WalkOn SPaths
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3078   class class class wbr 4403  copab 4460  (class class class)co 6203   cmpt2 6205   Walks cwalk 23577   Trails ctrail 23578   Paths cpath 23579   SPaths cspath 23580   WalkOn cwlkon 23581   SPathOn cspthon 23584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-wlk 23587  df-trail 23588  df-pth 23589  df-spth 23590  df-spthon 23596 This theorem is referenced by:  isspthon  23654  spthonprp  23656
 Copyright terms: Public domain W3C validator