Theorem speccl 11462

Description: The spectrum of an operator is a set of complex numbers.

Assertion

Ref	Expression
speccl	|- (T:~H-->~H -> (Lambda` T) C_ CC)

Proof of Theorem speccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		specval 11461	. 2 |- (T:~H-->~H -> (Lambda` T) = {x e. CC | -. (T -op (x .op ( _I |` ~H))):~H-1-1->~H})
2		ssrab2 2692	. . 3 |- {x e. CC | -. (T -op (x .op ( _I |` ~H))):~H-1-1->~H} C_ CC
3	2	a1i 8	. 2 |- (T:~H-->~H -> {x e. CC | -. (T -op (x .op ( _I |` ~H))):~H-1-1->~H} C_ CC)
4	1, 3	eqsstrd 2651	1 |- (T:~H-->~H -> (Lambda` T) C_ CC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  {crab 2108   C_ wss 2593   _I cid 3582   |` cres 3988  -->wf 3994  -1-1->wf1 3995  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  ~Hchil 10420   .op chot 10440   -op chod 10441  Lambdacspc 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-qs 5323  df-map 5383  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-spec 11418

Copyright terms: Public domain