MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spc3gv Structured version   Unicode version

Theorem spc3gv 3171
Description: Specialization with three quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by NM, 12-May-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
spc3egv.1  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
spc3gv  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x A. y A. z ph  ->  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    V( x, y, z)    W( x, y, z)    X( x, y, z)

Proof of Theorem spc3gv
StepHypRef Expression
1 spc3egv.1 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( ph  <->  ps )
)
21notbid 295 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B  /\  z  =  C )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
32spc3egv 3170 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( -.  ps  ->  E. x E. y E. z  -.  ph )
)
4 exnal 1695 . . . . . . 7  |-  ( E. z  -.  ph  <->  -.  A. z ph )
54exbii 1712 . . . . . 6  |-  ( E. y E. z  -. 
ph 
<->  E. y  -.  A. z ph )
6 exnal 1695 . . . . . 6  |-  ( E. y  -.  A. z ph 
<->  -.  A. y A. z ph )
75, 6bitri 252 . . . . 5  |-  ( E. y E. z  -. 
ph 
<->  -.  A. y A. z ph )
87exbii 1712 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z  -.  ph  <->  E. x  -.  A. y A. z ph )
9 exnal 1695 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y A. z ph  <->  -.  A. x A. y A. z ph )
108, 9bitr2i 253 . . 3  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ph  <->  E. x E. y E. z  -. 
ph )
113, 10syl6ibr 230 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( -.  ps  ->  -. 
A. x A. y A. z ph ) )
1211con4d 108 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x A. y A. z ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-v 3083
This theorem is referenced by:  funopg  5630  pslem  16440  dirtr  16470  mclsax  30203  fununiq  30405
  Copyright terms: Public domain W3C validator