HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Unicode version

Theorem spanval 21742
Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem spanval
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 21409 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
21elpw2 4064 . . 3  |-  ( A  e.  ~P ~H  <->  A  C_  ~H )
32biimpri 199 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  e. 
~P ~H )
4 helsh 21654 . . . 4  |-  ~H  e.  SH
5 sseq2 3121 . . . . 5  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
65rcla4ev 2821 . . . 4  |-  ( ( ~H  e.  SH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
74, 6mpan 654 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x
)
8 intexrab 4068 . . 3  |-  ( E. x  e.  SH  A  C_  x  <->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  _V )
97, 8sylib 190 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  _V )
10 sseq1 3120 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  x  <->  A  C_  x
) )
1110rabbidv 2719 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  { x  e.  SH  |  y  C_  x }  =  {
x  e.  SH  |  A  C_  x } )
1211inteqd 3765 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  |^| { x  e.  SH  |  y  C_  x }  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
13 df-span 21718 . . 3  |-  span  =  ( y  e.  ~P ~H  |->  |^| { x  e.  SH  |  y  C_  x } )
1412, 13fvmptg 5452 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P ~H  /\ 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  _V )  ->  ( span `  A )  = 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }
)
153, 9, 14syl2anc 645 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   |^|cint 3760   ` cfv 4592   ~Hchil 21329   SHcsh 21338   spancspn 21342
This theorem is referenced by:  spancl  21745  spanss2  21754  spanid  21756  spanss  21757  shsval3i  21797  elspani  21952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hv0cl 21413  ax-hfvmul 21415
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-map 6660  df-n 9627  df-hlim 21382  df-sh 21616  df-ch 21631  df-span 21718
  Copyright terms: Public domain W3C validator