Theorem spanval 10932

Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276.

Assertion

Ref	Expression
spanval	|- (A C_ ~H -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem spanval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
2	1	elpw2 3464	. 2 |- (A e. ~P~H <-> A C_ ~H)
3		helsh 10750	. . . . . 6 |- ~H e. SH
4		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (x = ~H -> (A C_ x <-> A C_ ~H))
5	4	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((~H e. SH /\ A C_ ~H) -> E.x e. SH A C_ x)
6	3, 5	mpan 759	. . . . 5 |- (A C_ ~H -> E.x e. SH A C_ x)
7	2, 6	sylbi 216	. . . 4 |- (A e. ~P~H -> E.x e. SH A C_ x)
8		intexrab 3468	. . . 4 |- (E.x e. SH A C_ x <-> |^|{x e. SH | A C_ x} e. _V)
9	7, 8	sylib 215	. . 3 |- (A e. ~P~H -> |^|{x e. SH | A C_ x} e. _V)
10		sseq1 2637	. . . . . 6 |- (y = A -> (y C_ x <-> A C_ x))
11	10	rabbidv 2287	. . . . 5 |- (y = A -> {x e. SH | y C_ x} = {x e. SH | A C_ x})
12	11	inteqd 3219	. . . 4 |- (y = A -> |^|{x e. SH | y C_ x} = |^|{x e. SH | A C_ x})
13		df-span 10907	. . . . 5 |- span = {<.y, z>. | (y C_ ~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x})}
14	1	elpw2 3464	. . . . . . 7 |- (y e. ~P~H <-> y C_ ~H)
15	14	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((y e. ~P~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x}) <-> (y C_ ~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x}))
16	15	opabbii 3402	. . . . 5 |- {<.y, z>. | (y e. ~P~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x})} = {<.y, z>. | (y C_ ~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x})}
17	13, 16	eqtr4i 1911	. . . 4 |- span = {<.y, z>. | (y e. ~P~H /\ z = |^|{x e. SH | y C_ x})}
18	12, 17	fvopab4g 4742	. . 3 |- ((A e. ~P~H /\ |^|{x e. SH | A C_ x} e. _V) -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})
19	9, 18	mpdan 768	. 2 |- (A e. ~P~H -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})
20	2, 19	sylbir 218	1 |- (A C_ ~H -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  |^|cint 3214  {copab 3395  ` cfv 3998  ~Hchil 10420  SHcsh 10429  spancspn 10433

This theorem is referenced by:  spancl 10937  spanss2 10947  spanid 10950  spanss 10951  shsumval3i 10994  elspani 11099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-span 10907

Copyright terms: Public domain