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Theorem spanunsni 27225
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 26873 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 4115 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 26982 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 26962 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 27204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 27067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 26864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
112, 9, 10mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 26863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  e.  A )
1311, 12syl3an3 1302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 26953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 27068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 27210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 27070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj h `  A ) `  B )  +h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )
2120oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 27068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 26654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2625adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
281cheli 26878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 26659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
3022, 29mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 26659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
34 ax-hvass 26648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 4115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  ->  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 26982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 26962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 616 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2876 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2872 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 199 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 26962 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 27204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 26864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 26863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  e.  A )
6462, 63syl3an2 1301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
652, 64mp3an1 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 27210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 26678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7122, 70mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 26673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 26659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 26647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
8180oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 26658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 26669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8828, 32anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
89 hvadd4 26682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  /\  ( y  e. 
~H  /\  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 26962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
101 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10397, 100, 102syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
104103exp43 616 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2876 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2872 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 199 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
11056, 109impbii 191 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2447 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 26877 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 27190 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 26993 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6298 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2472 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 5 . . . 4  |-  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H
120112, 119spanuni 27190 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6298 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2472 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2482 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737    u. cun 3401    C_ wss 3403   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   1c1 9537   -ucneg 9858   ~Hchil 26565    +h cva 26566    .h csm 26567   0hc0v 26570   SHcsh 26574   CHcch 26575   _|_cort 26576    +H cph 26577   spancspn 26578   proj hcpjh 26583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-span 26955  df-pjh 27041
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