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Theorem spanunsni 24980
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 24628 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 4015 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 24737 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 24717 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 24959 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 24822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 24618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
112, 9, 10mp3an13 1305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 24617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  e.  A )
1311, 12syl3an3 1253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 24708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 24823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 24965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 24825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj h `  A ) `  B )  +h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )
2120oveq2i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 24823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 24408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
281cheli 24633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 24413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
3022, 29mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 24413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
34 ax-hvass 24402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 4015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  ->  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 24737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 24717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 612 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2838 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2833 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 24717 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 24959 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 24618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 24617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  e.  A )
6462, 63syl3an2 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
652, 64mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 24965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 24432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7122, 70mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 24427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 24413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 24401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
8180oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 24412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 24423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8828, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
89 hvadd4 24436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  /\  ( y  e. 
~H  /\  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 24717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
101 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10397, 100, 102syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
104103exp43 612 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2838 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2833 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
11056, 109impbii 188 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2438 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 24632 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 24945 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 24748 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6099 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2461 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 5 . . . 4  |-  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H
120112, 119spanuni 24945 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6099 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2461 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2471 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714    u. cun 3324    C_ wss 3326   {csn 3875   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   1c1 9281   -ucneg 9594   ~Hchil 24319    +h cva 24320    .h csm 24321   0hc0v 24324   SHcsh 24328   CHcch 24329   _|_cort 24330    +H cph 24331   spancspn 24332   proj hcpjh 24337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cc 8602  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485  ax-hcompl 24602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-omul 6923  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-acn 8110  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-ntr 18622  df-cls 18623  df-nei 18700  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-lm 18831  df-haus 18917  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-fil 19417  df-fm 19509  df-flim 19510  df-flf 19511  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-cfil 20764  df-cau 20765  df-cmet 20766  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-subgo 23787  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-dip 24094  df-ssp 24118  df-ph 24211  df-cbn 24262  df-hnorm 24368  df-hba 24369  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-hcau 24373  df-sh 24607  df-ch 24622  df-oc 24653  df-ch0 24654  df-shs 24709  df-span 24710  df-pjh 24796
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