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Theorem spanunsni 23034
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 22683 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 3902 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 22791 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 22771 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 23013 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 22876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 22673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj  h `  A
) `  B )  e.  A )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
112, 9, 10mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 22672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  e.  A
)
1311, 12syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 22762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 22877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 23019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 22879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj 
h `  A ) `  B )  +h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )
2120oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 22877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj  h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 22464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj  h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj  h `  A
) `  B )  +h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
281cheli 22688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
3022, 29mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
34 ax-hvass 22458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  (
y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 3902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B )  e. 
~H  ->  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 22791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 22771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2789 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2784 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 22771 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 23013 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 22673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 22672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6462, 63syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  e.  A )
652, 64mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 23019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )  =  (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
) )
7122, 70mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 22482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u
1  .h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj  h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 22457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) ) )
8180oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 22468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H )  -> 
( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 22478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )
)
8828, 32anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )
89 hvadd4 22491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  e.  ~H )  /\  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  e.  ~H ) )  ->  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj 
h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj  h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj  h `  A
) `  B )
)  +h  y )  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj  h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 22771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )
101 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  ->  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
10397, 100, 102syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
104103exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2789 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2784 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 188 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) )
11056, 109impbii 181 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2401 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 22687 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 22999 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 22802 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 8 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6050 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2424 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 8 . . . 4  |-  { ( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } 
C_  ~H
120112, 119spanuni 22999 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj 
h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6050 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2424 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2434 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj  h `  ( _|_ `  A ) ) `
 B ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947   -ucneg 9248   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   0hc0v 22380   SHcsh 22384   CHcch 22385   _|_cort 22386    +H cph 22387   spancspn 22388   proj 
hcpjh 22393
This theorem is referenced by:  spansnji  23101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-span 22764  df-pjh 22850
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