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Theorem spanunsni 26201
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 25849 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 4171 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 25958 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 25938 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 26180 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 26043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 25839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
112, 9, 10mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 25838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  e.  A )
1311, 12syl3an3 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 25929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 26044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 26186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 26046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj h `  A ) `  B )  +h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )
2120oveq2i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 26044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 25629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
281cheli 25854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
3022, 29mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
34 ax-hvass 25623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  ->  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 25958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 25938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 612 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2953 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2953 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2949 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 25938 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 26180 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 25839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 25838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  e.  A )
6462, 63syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
652, 64mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 26186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 25653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7122, 70mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 25648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 25634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 25622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
8180oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 25633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 25644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8828, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
89 hvadd4 25657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  /\  ( y  e. 
~H  /\  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 25938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
101 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10397, 100, 102syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
104103exp43 612 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2953 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2953 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2949 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
11056, 109impbii 188 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2463 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 25853 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 26166 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 25969 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6294 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2496 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 5 . . . 4  |-  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H
120112, 119spanuni 26166 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6294 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2496 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2506 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   1c1 9493   -ucneg 9806   ~Hchil 25540    +h cva 25541    .h csm 25542   0hc0v 25545   SHcsh 25549   CHcch 25550   _|_cort 25551    +H cph 25552   spancspn 25553   proj hcpjh 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706  ax-hcompl 25823
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-lm 19524  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cfil 21457  df-cau 21458  df-cmet 21459  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-subgo 25008  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ssp 25339  df-ph 25432  df-cbn 25483  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-hlim 25593  df-hcau 25594  df-sh 25828  df-ch 25843  df-oc 25874  df-ch0 25875  df-shs 25930  df-span 25931  df-pjh 26017
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