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Theorem spanunsni 27075
Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanunsn.1  |-  A  e. 
CH
spanunsn.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spanunsni  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )

Proof of Theorem spanunsni
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanunsn.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
CH
21chshii 26723 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
3 spanunsn.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
4 snssi 4147 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ~H  ->  { B }  C_  ~H )
5 spancl 26832 . . . . . . 7  |-  ( { B }  C_  ~H  ->  ( span `  { B } )  e.  SH )
63, 4, 5mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( span `  { B } )  e.  SH
72, 6shseli 26812 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z
) )
83elspansni 27054 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  { B } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B ) )
91, 3pjclii 26917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e.  A
10 shmulcl 26714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  (
( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
112, 9, 10mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
12 shaddcl 26713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)  ->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  e.  A )
1311, 12syl3an3 1299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
142, 13mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A )
151choccli 26803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
1615, 3pjhclii 26918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
17 spansnmul 27060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1816, 17mpan 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
201, 3pjpji 26920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  ( ( ( proj h `  A ) `  B )  +h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )
2120oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  .h  B )  =  ( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
221, 3pjhclii 26918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
proj h `  A ) `
 B )  e. 
~H
23 ax-hvdistr1 26504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2422, 16, 23mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( ( ( proj h `  A ) `  B
)  +h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2521, 24syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  =  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
2726oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
281cheli 26728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
29 hvmulcl 26509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
3022, 29mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
31 hvmulcl 26509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H )  -> 
( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
3216, 31mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e. 
~H )
3330, 32jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
34 ax-hvass 26498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
35343expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( y  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
3727, 36eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
38 rspceov 6344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  e.  A  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
3914, 19, 37, 38syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  (
w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u ) )
40 snssi 4147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H  ->  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H )
41 spancl 26832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H  ->  (
span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH )
4216, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  SH
432, 42shseli 26812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ( y  +h  ( w  .h  B ) )  =  ( v  +h  u
) )
4439, 43sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
45 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
4645eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  B ) ) ) )
4746biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  B )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )
48 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  B
) )  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
4948biimparc 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  B ) )  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  B
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5044, 47, 49syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  B
)  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
5150exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  B )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) ) )
5251rexlimdv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  B )  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
538, 52syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { B } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) ) )
5453rexlimdv 2922 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { B }
) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) ) )
5554rexlimiv 2918 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { B } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
567, 55sylbi 198 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
572, 42shseli 26812 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z
) )
5816elspansni 27054 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )
59 negcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  -u w  e.  CC )
60 shmulcl 26714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  SH  /\  -u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  A )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
612, 9, 60mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u w  e.  CC  ->  (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A
)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  A )
63 shaddcl 26713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  ( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  e.  A )
6462, 63syl3an2 1298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  SH  /\  w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
652, 64mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
6665ancoms 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A )
67 spansnmul 27060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
683, 67mpan 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  .h  B )  e.  ( span `  { B } ) )
6968adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } ) )
70 hvm1neg 26528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7122, 70mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) )  =  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )
7271oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
73 hvnegid 26523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
7430, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u 1  .h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) ) ) )  =  0h )
75 hvmulcl 26509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u w  e.  CC  /\  ( ( proj h `  A ) `  B
)  e.  ~H )  ->  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )
7659, 22, 75sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  e.  ~H )
77 ax-hvcom 26497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  ->  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B ) )  +h  ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7830, 76, 77syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  ( -u w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
7972, 74, 783eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  0h  =  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) ) )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  0h  =  ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) ) )
8180oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
82 hvaddcl 26508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
8328, 32, 82syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H )
84 hvaddid2 26519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( 0h  +h  (
y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
8676, 30jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H ) )
8828, 32anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)
89 hvadd4 26532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H  /\  ( w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  e.  ~H )  /\  ( y  e. 
~H  /\  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  e.  ~H )
)  ->  ( (
( -u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) ) )  +h  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) ) )  +h  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9181, 85, 903eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9226oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `
 B ) )  +h  y )  +h  ( w  .h  B
) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( ( w  .h  ( (
proj h `  A ) `
 B ) )  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
9391, 92eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( (
-u w  .h  (
( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )
94 rspceov 6344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  e.  A  /\  ( w  .h  B
)  e.  ( span `  { B } )  /\  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( ( ( -u w  .h  ( ( proj h `  A ) `  B
) )  +h  y
)  +h  ( w  .h  B ) ) )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9566, 69, 93, 94syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B }
) ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
962, 6shseli 26812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  ( span `  { B } ) ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  =  ( v  +h  u ) )
9795, 96sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
98 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( y  +h  z )  =  ( y  +h  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
9998eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <->  x  =  ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) ) )
10099biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  ->  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )
101 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
102101biimparc 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +h  (
w  .h  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) )  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  /\  x  =  ( y  +h  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) ) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10397, 100, 102syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  w  e.  CC )  /\  ( z  =  ( w  .h  (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  /\  x  =  ( y  +h  z
) ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
104103exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  (
w  e.  CC  ->  ( z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) ) ) )
105104rexlimdv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
10658, 105syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B }
) ) ) ) )
107106rexlimdv 2922 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  ( E. z  e.  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) ) )
108107rexlimiv 2918 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
10957, 108sylbi 198 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  ->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) ) )
11056, 109impbii 190 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  <->  x  e.  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
111110eqriv 2425 . 2  |-  ( A  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
1121chssii 26727 . . . 4  |-  A  C_  ~H
1133, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  { B }  C_  ~H
114112, 113spanuni 27040 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { B } ) )
115 spanid 26843 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
1162, 115ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
117116oveq1i 6315 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
118114, 117eqtri 2458 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { B }
) )
11916, 40ax-mp 5 . . . 4  |-  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ~H
120112, 119spanuni 27040 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
121116oveq1i 6315 . . 3  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
122120, 121eqtri 2458 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )  =  ( A  +H  ( span `  { ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
123111, 118, 1223eqtr4i 2468 1  |-  ( span `  ( A  u.  { B } ) )  =  ( span `  ( A  u.  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   1c1 9539   -ucneg 9860   ~Hchil 26415    +h cva 26416    .h csm 26417   0hc0v 26420   SHcsh 26424   CHcch 26425   _|_cort 26426    +H cph 26427   spancspn 26428   proj hcpjh 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26495  ax-hfvadd 26496  ax-hvcom 26497  ax-hvass 26498  ax-hv0cl 26499  ax-hvaddid 26500  ax-hfvmul 26501  ax-hvmulid 26502  ax-hvmulass 26503  ax-hvdistr1 26504  ax-hvdistr2 26505  ax-hvmul0 26506  ax-hfi 26575  ax-his1 26578  ax-his2 26579  ax-his3 26580  ax-his4 26581  ax-hcompl 26698
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-starv 15168  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-unif 15176  df-hom 15177  df-cco 15178  df-rest 15284  df-topn 15285  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-topgen 15305  df-pt 15306  df-prds 15309  df-xrs 15363  df-qtop 15368  df-imas 15369  df-xps 15371  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-submnd 16538  df-mulg 16631  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-psmet 18901  df-xmet 18902  df-met 18903  df-bl 18904  df-mopn 18905  df-fbas 18906  df-fg 18907  df-cnfld 18910  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-lm 20180  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cfil 22122  df-cau 22123  df-cmet 22124  df-grpo 25772  df-gid 25773  df-ginv 25774  df-gdiv 25775  df-ablo 25863  df-subgo 25883  df-vc 26018  df-nv 26064  df-va 26067  df-ba 26068  df-sm 26069  df-0v 26070  df-vs 26071  df-nmcv 26072  df-ims 26073  df-dip 26190  df-ssp 26214  df-ph 26307  df-cbn 26358  df-hnorm 26464  df-hba 26465  df-hvsub 26467  df-hlim 26468  df-hcau 26469  df-sh 26703  df-ch 26717  df-oc 26748  df-ch0 26749  df-shs 26804  df-span 26805  df-pjh 26891
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