Theorem spanunsni 11135

Description: The span of the union of a closed subspace with a singleton equals the span of its union with an orthogonal singleton.

Hypotheses

Ref	Expression
spanunsn.1	|- A e. CH
spanunsn.2	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
spanunsni	|- (span` (A u. {B})) = (span` (A u. {((proj` (_|_` A))` B)}))

Proof of Theorem spanunsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanunsn.1	. . . . . . 7 |- A e. CH
2	1	chshii 10730	. . . . . 6 |- A e. SH
3		spanunsn.2	. . . . . . . 8 |- B e. ~H
4		snssi 3129	. . . . . . . 8 |- (B e. ~H -> {B} C_ ~H)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- {B} C_ ~H
6		spancl 10937	. . . . . . 7 |- ({B} C_ ~H -> (span` {B}) e. SH)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` {B}) e. SH
8	2, 7	shseli 10913	. . . . 5 |- (x e. (A +H (span` {B})) <-> E.y e. A E.z e. (span` {B})x = (y +h z))
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y +h (w .h B)) -> (x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) <-> (y +h (w .h B)) e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))))
10	9	biimparc 463	. . . . . . . . . . 11 |- (((y +h (w .h B)) e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) /\ x = (y +h (w .h B))) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
11		shaddclOLD 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. SH -> ((y e. A /\ (w .h ((proj` A)` B)) e. A) -> (y +h (w .h ((proj` A)` B))) e. A))
12	1, 3	pjclii 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((proj` A)` B) e. A
13		shmulclOLD 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. SH -> ((w e. CC /\ ((proj` A)` B) e. A) -> (w .h ((proj` A)` B)) e. A))
14	2, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w e. CC /\ ((proj` A)` B) e. A) -> (w .h ((proj` A)` B)) e. A)
15	12, 14	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. CC -> (w .h ((proj` A)` B)) e. A)
16	11, 15	sylan2i 514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. SH -> ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` A)` B))) e. A))
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` A)` B))) e. A)
18	1	choccli 10818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (_|_` A) e. CH
19	18, 3	pjhclii 10887	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((proj` (_|_` A))` B) e. ~H
20		spansnmul 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((proj` (_|_` A))` B) e. ~H /\ w e. CC) -> (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
21	19, 20	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. CC -> (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
22	21	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
23	1, 3	pjhclii 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((proj` A)` B) e. ~H
24		ax-hvdistr1 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((w e. CC /\ ((proj` A)` B) e. ~H /\ ((proj` (_|_` A))` B) e. ~H) -> (w .h (((proj` A)` B) +h ((proj` (_|_` A))` B))) = ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
25	23, 19, 24	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. CC -> (w .h (((proj` A)` B) +h ((proj` (_|_` A))` B))) = ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
26	1, 3	pjpji 10890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = (((proj` A)` B) +h ((proj` (_|_` A))` B))
27	26	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w .h B) = (w .h (((proj` A)` B) +h ((proj` (_|_` A))` B)))
28	25, 27	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. CC -> (w .h B) = ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
29	28	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (w .h B) = ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
30	29	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h B)) = (y +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
31		ax-hvass 10504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ~H /\ (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H) -> ((y +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (y +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
32	31	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ~H /\ ((w .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H)) -> ((y +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (y +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
33	1	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. A -> y e. ~H)
34		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. CC /\ ((proj` A)` B) e. ~H) -> (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H)
35	23, 34	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. CC -> (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H)
36		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. CC /\ ((proj` (_|_` A))` B) e. ~H) -> (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H)
37	19, 36	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. CC -> (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H)
38	35, 37	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. CC -> ((w .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H))
39	32, 33, 38	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> ((y +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (y +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
40	30, 39	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h B)) = ((y +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
41		rcla4eopr 4915	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y +h (w .h ((proj` A)` B))) e. A /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}) /\ (y +h (w .h B)) = ((y +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) -> E.v e. A E.u e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})(y +h (w .h B)) = (v +h u))
42	17, 22, 40, 41	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> E.v e. A E.u e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})(y +h (w .h B)) = (v +h u))
43		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((proj` (_|_` A))` B) e. ~H -> {((proj` (_|_` A))` B)} C_ ~H)
44	19, 43	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- {((proj` (_|_` A))` B)} C_ ~H
45		spancl 10937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ({((proj` (_|_` A))` B)} C_ ~H -> (span` {((proj` (_|_` A))` B)}) e. SH)
46	44, 45	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (span` {((proj` (_|_` A))` B)}) e. SH
47	2, 46	shseli 10913	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +h (w .h B)) e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) <-> E.v e. A E.u e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})(y +h (w .h B)) = (v +h u))
48	42, 47	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h B)) e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
49		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (w .h B) -> (y +h z) = (y +h (w .h B)))
50	49	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (w .h B) -> (x = (y +h z) <-> x = (y +h (w .h B))))
51	50	biimpa 460	. . . . . . . . . . 11 |- ((z = (w .h B) /\ x = (y +h z)) -> x = (y +h (w .h B)))
52	10, 48, 51	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. A /\ w e. CC) /\ (z = (w .h B) /\ x = (y +h z))) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
53	52	exp43 415	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (w e. CC -> (z = (w .h B) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))))))
54	53	r19.23adv 2215	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (E.w e. CC z = (w .h B) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))))
55	3	elspansni 11114	. . . . . . . 8 |- (z e. (span` {B}) <-> E.w e. CC z = (w .h B))
56	54, 55	syl5ib 223	. . . . . . 7 |- (y e. A -> (z e. (span` {B}) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))))
57	56	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (y e. A -> (E.z e. (span` {B})x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))))
58	57	r19.23aiv 2211	. . . . 5 |- (E.y e. A E.z e. (span` {B})x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
59	8, 58	sylbi 216	. . . 4 |- (x e. (A +H (span` {B})) -> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
60	2, 46	shseli 10913	. . . . 5 |- (x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) <-> E.y e. A E.z e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})x = (y +h z))
61		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) -> (x e. (A +H (span` {B})) <-> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. (A +H (span` {B}))))
62	61	biimparc 463	. . . . . . . . . . 11 |- (((y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. (A +H (span` {B})) /\ x = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) -> x e. (A +H (span` {B})))
63		shaddclOLD 10719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. SH -> (((-uw .h ((proj` A)` B)) e. A /\ y e. A) -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) e. A))
64		negcl 6525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. CC -> -uw e. CC)
65		shmulclOLD 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A e. SH -> ((-uw e. CC /\ ((proj` A)` B) e. A) -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. A))
66	2, 65	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((-uw e. CC /\ ((proj` A)` B) e. A) -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. A)
67	12, 66	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-uw e. CC -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. A)
68	64, 67	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. CC -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. A)
69	63, 68	sylani 513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. SH -> ((w e. CC /\ y e. A) -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) e. A))
70	2, 69	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. CC /\ y e. A) -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) e. A)
71	70	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) e. A)
72		spansnmul 11120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. ~H /\ w e. CC) -> (w .h B) e. (span` {B}))
73	3, 72	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. CC -> (w .h B) e. (span` {B}))
74	73	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (w .h B) e. (span` {B}))
75		hvm1neg 10533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w e. CC /\ ((proj` A)` B) e. ~H) -> (-u1 .h (w .h ((proj` A)` B))) = (-uw .h ((proj` A)` B)))
76	23, 75	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w e. CC -> (-u1 .h (w .h ((proj` A)` B))) = (-uw .h ((proj` A)` B)))
77	76	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. CC -> ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-u1 .h (w .h ((proj` A)` B)))) = ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-uw .h ((proj` A)` B))))
78		hvnegid 10528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((w .h ((proj` A)` B)) e. ~H -> ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-u1 .h (w .h ((proj` A)` B)))) = 0h)
79	35, 78	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. CC -> ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-u1 .h (w .h ((proj` A)` B)))) = 0h)
80		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((-uw e. CC /\ ((proj` A)` B) e. ~H) -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H)
81	23, 80	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (-uw e. CC -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H)
82	64, 81	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w e. CC -> (-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H)
83		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((w .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H) -> ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-uw .h ((proj` A)` B))) = ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))))
84	35, 82, 83	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. CC -> ((w .h ((proj` A)` B)) +h (-uw .h ((proj` A)` B))) = ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))))
85	77, 79, 84	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. CC -> 0h = ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))))
86	85	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> 0h = ((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))))
87	86	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (0h +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
88		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H) -> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. ~H)
89	88, 33, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. ~H)
90		hvaddid2 10524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. ~H -> (0h +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
91	89, 90	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (0h +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
92	82, 35	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. CC -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H))
93	92	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> ((-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H))
94	33, 37	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H))
95		hvadd4 10537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((-uw .h ((proj` A)` B)) e. ~H /\ (w .h ((proj` A)` B)) e. ~H) /\ (y e. ~H /\ (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) e. ~H)) -> (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
96	93, 94, 95	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` A)` B))) +h (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
97	87, 91, 96	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
98	29	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h (w .h B)) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h ((w .h ((proj` A)` B)) +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
99	97, 98	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h (w .h B)))
100		rcla4eopr 4915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) e. A /\ (w .h B) e. (span` {B}) /\ (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (((-uw .h ((proj` A)` B)) +h y) +h (w .h B))) -> E.v e. A E.u e. (span` {B})(y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (v +h u))
101	71, 74, 99, 100	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> E.v e. A E.u e. (span` {B})(y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (v +h u))
102	2, 7	shseli 10913	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. (A +H (span` {B})) <-> E.v e. A E.u e. (span` {B})(y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) = (v +h u))
103	101, 102	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. A /\ w e. CC) -> (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))) e. (A +H (span` {B})))
104		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) -> (y +h z) = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
105	104	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) -> (x = (y +h z) <-> x = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))))
106	105	biimpa 460	. . . . . . . . . . 11 |- ((z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) /\ x = (y +h z)) -> x = (y +h (w .h ((proj` (_|_` A))` B))))
107	62, 103, 106	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. A /\ w e. CC) /\ (z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) /\ x = (y +h z))) -> x e. (A +H (span` {B})))
108	107	exp43 415	. . . . . . . . 9 |- (y e. A -> (w e. CC -> (z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {B}))))))
109	108	r19.23adv 2215	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> (E.w e. CC z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {B})))))
110	19	elspansni 11114	. . . . . . . 8 |- (z e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}) <-> E.w e. CC z = (w .h ((proj` (_|_` A))` B)))
111	109, 110	syl5ib 223	. . . . . . 7 |- (y e. A -> (z e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)}) -> (x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {B})))))
112	111	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (y e. A -> (E.z e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {B}))))
113	112	r19.23aiv 2211	. . . . 5 |- (E.y e. A E.z e. (span` {((proj` (_|_` A))` B)})x = (y +h z) -> x e. (A +H (span` {B})))
114	60, 113	sylbi 216	. . . 4 |- (x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) -> x e. (A +H (span` {B})))
115	59, 114	impbii 174	. . 3 |- (x e. (A +H (span` {B})) <-> x e. (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})))
116	115	eqriv 1881	. 2 |- (A +H (span` {B})) = (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
117	1	chssii 10734	. . . 4 |- A C_ ~H
118	117, 5	spanuni 11100	. . 3 |- (span` (A u. {B})) = ((span` A) +H (span` {B}))
119		spanid 10950	. . . . 5 |- (A e. SH -> (span` A) = A)
120	2, 119	ax-mp 7	. . . 4 |- (span` A) = A
121	120	opreq1i 4892	. . 3 |- ((span` A) +H (span` {B})) = (A +H (span` {B}))
122	118, 121	eqtri 1908	. 2 |- (span` (A u. {B})) = (A +H (span` {B}))
123	117, 44	spanuni 11100	. . 3 |- (span` (A u. {((proj` (_|_` A))` B)})) = ((span` A) +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
124	120	opreq1i 4892	. . 3 |- ((span` A) +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)})) = (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
125	123, 124	eqtri 1908	. 2 |- (span` (A u. {((proj` (_|_` A))` B)})) = (A +H (span` {((proj` (_|_` A))` B)}))
126	116, 122, 125	3eqtr4i 1921	1 |- (span` (A u. {B})) = (span` (A u. {((proj` (_|_` A))` B)}))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   u. cun 2591   C_ wss 2593  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431   +H cph 10432  spancspn 10433  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  spansnji 11226

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-span 10907

Copyright terms: Public domain