Theorem spanuni 26124

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A C_ ~H
spanun.2	|- B C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
2		spancl 25916	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( span ` A ) e. SH )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` A ) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B C_ ~H
5		spancl 25916	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> ( span ` B ) e. SH )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` B ) e. SH
7	3, 6	shscli 25897	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH
8	7	shssii 25792	. . . 4 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H
9		spanss2 25925	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> A C_ ( span ` A ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A C_ ( span ` A )
11		spanss2 25925	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> B C_ ( span ` B ) )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- B C_ ( span ` B )
13		unss12 3669	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ( span ` A ) /\ B C_ ( span ` B ) ) -> ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) )
14	10, 12, 13	mp2an 672	. . . . 5 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) )
15	3, 6	shunssi 25948	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
16	14, 15	sstri 3506	. . . 4 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
17		spanss 25928	. . . 4 |- ( ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H /\ ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) -> ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) )
18	8, 16, 17	mp2an 672	. . 3 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
19		spanid 25927	. . . 4 |- ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH -> ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
21	18, 20	sseqtri 3529	. 2 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
22	3, 6	shseli 25896	. . . . 5 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) )
23		r2ex 2978	. . . . 5 |- ( E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
24	22, 23	bitri 249	. . . 4 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
25		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
26	25	elspani 26123	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~H -> ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) ) )
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) )
28		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
29	28	elspani 26123	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ ~H -> ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) )
31	27, 30	anbi12i 697	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
32		r19.26 2982	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
33	31, 32	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) )
34		r19.27av 2988	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
35	33, 34	sylanb 472	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
36		unss 3671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ y /\ B C_ y ) <-> ( A u. B ) C_ y )
37		prth 571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A C_ y /\ B C_ y ) -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
38	36, 37	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
39		shaddcl 25796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. SH /\ z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y )
40	39	3expib 1194	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. SH -> ( ( z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y ) )
41	38, 40	sylan9r 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z +h w ) e. y ) )
42		eleq1 2532	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +h w ) -> ( x e. y <-> ( z +h w ) e. y ) )
43	42	biimprd 223	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +h w ) -> ( ( z +h w ) e. y -> x e. y ) )
44	41, 43	sylan9 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
45	44	expl 618	. . . . . . . 8 |- ( y e. SH -> ( ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
46	45	ralimia 2848	. . . . . . 7 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
47	1, 4	unssi 3672	. . . . . . . 8 |- ( A u. B ) C_ ~H
48		vex 3109	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
49	48	elspani 26123	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) C_ ~H -> ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
51	46, 50	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
52	35, 51	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
53	52	exlimivv 1694	. . . 4 |- ( E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
54	24, 53	sylbi 195	. . 3 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
55	54	ssriv 3501	. 2 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ( span ` ( A u. B ) )
56	21, 55	eqssi 3513	1 |- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   u. cun 3467   C_ wss 3469   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ~Hchil 25498   +h cva 25499   SHcsh 25507   +H cph 25510   spancspn 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his2 25662  ax-his3 25663  ax-his4 25664

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-lm 19489  df-haus 19575  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156  df-hnorm 25547  df-hvsub 25550  df-hlim 25551  df-sh 25786  df-ch 25801  df-ch0 25833  df-shs 25888  df-span 25889

This theorem is referenced by:  spanun  26125  spanunsni  26159  spansnji  26226