Theorem spanuni 11100

Description: The span of a union is the subspace sum of spans.

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A C_ ~H
spanun.2	|- B C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Proof of Theorem spanuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
2		spancl 10937	. . . . . . 7 |- (A C_ ~H -> (span` A) e. SH)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` A) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B C_ ~H
5		spancl 10937	. . . . . . 7 |- (B C_ ~H -> (span` B) e. SH)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` B) e. SH
7	3, 6	shscli 10914	. . . . 5 |- ((span` A) +H (span` B)) e. SH
8	7	shssii 10714	. . . 4 |- ((span` A) +H (span` B)) C_ ~H
9		spanss2 10947	. . . . . . 7 |- (A C_ ~H -> A C_ (span` A))
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- A C_ (span` A)
11		spanss2 10947	. . . . . . 7 |- (B C_ ~H -> B C_ (span` B))
12	4, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- B C_ (span` B)
13		unss12 2778	. . . . . 6 |- ((A C_ (span` A) /\ B C_ (span` B)) -> (A u. B) C_ ((span` A) u. (span` B)))
14	10, 12, 13	mp2an 761	. . . . 5 |- (A u. B) C_ ((span` A) u. (span` B))
15	3, 6	shunssi 10970	. . . . 5 |- ((span` A) u. (span` B)) C_ ((span` A) +H (span` B))
16	14, 15	sstri 2626	. . . 4 |- (A u. B) C_ ((span` A) +H (span` B))
17		spanss 10951	. . . 4 |- ((((span` A) +H (span` B)) C_ ~H /\ (A u. B) C_ ((span` A) +H (span` B))) -> (span` (A u. B)) C_ (span` ((span` A) +H (span` B))))
18	8, 16, 17	mp2an 761	. . 3 |- (span` (A u. B)) C_ (span` ((span` A) +H (span` B)))
19		spanid 10950	. . . 4 |- (((span` A) +H (span` B)) e. SH -> (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B)))
20	7, 19	ax-mp 7	. . 3 |- (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B))
21	18, 20	sseqtri 2649	. 2 |- (span` (A u. B)) C_ ((span` A) +H (span` B))
22	3, 6	shseli 10913	. . . . 5 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +h w))
23		r2ex 2152	. . . . 5 |- (E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +h w) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)))
24	22, 23	bitri 190	. . . 4 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)))
25		r19.27av 2224	. . . . . . 7 |- ((A.y e. SH ((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)))
26		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
27	26	elspani 11099	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ ~H -> (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A C_ y -> z e. y)))
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A C_ y -> z e. y))
29		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
30	29	elspani 11099	. . . . . . . . . 10 |- (B C_ ~H -> (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B C_ y -> w e. y)))
31	4, 30	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B C_ y -> w e. y))
32	28, 31	anbi12i 540	. . . . . . . 8 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> (A.y e. SH (A C_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B C_ y -> w e. y)))
33		r19.26 2219	. . . . . . . 8 |- (A.y e. SH ((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) <-> (A.y e. SH (A C_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B C_ y -> w e. y)))
34	32, 33	bitr4i 193	. . . . . . 7 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> A.y e. SH ((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)))
35	25, 34	sylanb 498	. . . . . 6 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)))
36		prth 615	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) -> ((A C_ y /\ B C_ y) -> (z e. y /\ w e. y)))
37		unss 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ y /\ B C_ y) <-> (A u. B) C_ y)
38	36, 37	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) -> ((A u. B) C_ y -> (z e. y /\ w e. y)))
39		shaddclOLD 10719	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. SH -> ((z e. y /\ w e. y) -> (z +h w) e. y))
40	38, 39	sylan9r 519	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. SH /\ ((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y))) -> ((A u. B) C_ y -> (z +h w) e. y))
41		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (z +h w) -> (x e. y <-> (z +h w) e. y))
42	41	biimprd 171	. . . . . . . . . 10 |- (x = (z +h w) -> ((z +h w) e. y -> x e. y))
43	40, 42	sylan9 517	. . . . . . . . 9 |- (((y e. SH /\ ((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y))) /\ x = (z +h w)) -> ((A u. B) C_ y -> x e. y))
44	43	expl 420	. . . . . . . 8 |- (y e. SH -> ((((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> ((A u. B) C_ y -> x e. y)))
45	44	ralimia 2166	. . . . . . 7 |- (A.y e. SH (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH ((A u. B) C_ y -> x e. y))
46	1, 4	unssi 2781	. . . . . . . 8 |- (A u. B) C_ ~H
47		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
48	47	elspani 11099	. . . . . . . 8 |- ((A u. B) C_ ~H -> (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) C_ y -> x e. y)))
49	46, 48	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) C_ y -> x e. y))
50	45, 49	sylibr 217	. . . . . 6 |- (A.y e. SH (((A C_ y -> z e. y) /\ (B C_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
51	35, 50	syl 12	. . . . 5 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
52	51	19.23aivv 1675	. . . 4 |- (E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
53	24, 52	sylbi 216	. . 3 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) -> x e. (span` (A u. B)))
54	53	ssriv 2621	. 2 |- ((span` A) +H (span` B)) C_ (span` (A u. B))
55	21, 54	eqssi 2632	1 |- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106   u. cun 2591   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  SHcsh 10429   +H cph 10432  spancspn 10433

This theorem is referenced by:  spanun 11101  spanunsni 11135  spansnji 11226

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-span 10907

Copyright terms: Public domain