HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanuni Structured version   Unicode version

Theorem spanuni 24945
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1  |-  A  C_  ~H
spanun.2  |-  B  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
spanuni  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
2 spancl 24737 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( span `  A )  e.  SH
4 spanun.2 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~H
5 spancl 24737 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  e.  SH )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( span `  B )  e.  SH
73, 6shscli 24718 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  e.  SH
87shssii 24613 . . . 4  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ~H
9 spanss2 24746 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A  C_  ( span `  A )
11 spanss2 24746 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  B  C_  ( span `  B )
)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  B  C_  ( span `  B )
13 unss12 3526 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( span `  A )  /\  B  C_  ( span `  B
) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) ) )
1410, 12, 13mp2an 672 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) )
153, 6shunssi 24769 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  u.  ( span `  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
1614, 15sstri 3363 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
17 spanss 24749 . . . 4  |-  ( ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  C_  ~H  /\  ( A  u.  B )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) )  -> 
( span `  ( A  u.  B ) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) ) )
188, 16, 17mp2an 672 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
19 spanid 24748 . . . 4  |-  ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  e.  SH  ->  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
207, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )
2118, 20sseqtri 3386 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
223, 6shseli 24717 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B ) x  =  ( z  +h  w
) )
23 r2ex 2751 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B
) x  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
25 vex 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2625elspani 24944 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) ) )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) )
28 vex 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
2928elspani 24944 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
) )
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)
3127, 30anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
32 r19.26 2847 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  SH  (
( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
3331, 32bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  A. y  e.  SH  ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
34 r19.27av 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  SH  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
3533, 34sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)  /\  x  =  ( z  +h  w
) ) )
36 unss 3528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  y  /\  B  C_  y )  <->  ( A  u.  B )  C_  y
)
37 prth 571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  C_  y  /\  B  C_  y )  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) ) )
3836, 37syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  y  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )
) )
39 shaddcl 24617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  SH  /\  z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w
)  e.  y )
40393expib 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4138, 40sylan9r 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
42 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
x  e.  y  <->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4342biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
( z  +h  w
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
4441, 43sylan9 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
4544expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
4645ralimia 2787 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
471, 4unssi 3529 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  B )  C_  ~H
48 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4948elspani 24944 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
5146, 50sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B
) ) )
5235, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5352exlimivv 1689 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5424, 53sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  ->  x  e.  (
span `  ( A  u.  B ) ) )
5554ssriv 3358 . 2  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ( span `  ( A  u.  B ) )
5621, 55eqssi 3370 1  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    u. cun 3324    C_ wss 3326   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ~Hchil 24319    +h cva 24320   SHcsh 24328    +H cph 24331   spancspn 24332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-icc 11305  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-lm 18831  df-haus 18917  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-hnorm 24368  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-sh 24607  df-ch 24622  df-ch0 24654  df-shs 24709  df-span 24710
This theorem is referenced by:  spanun  24946  spanunsni  24980  spansnji  25047
  Copyright terms: Public domain W3C validator