Theorem spanuni 24945

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A C_ ~H
spanun.2	|- B C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
2		spancl 24737	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( span ` A ) e. SH )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` A ) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B C_ ~H
5		spancl 24737	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> ( span ` B ) e. SH )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` B ) e. SH
7	3, 6	shscli 24718	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH
8	7	shssii 24613	. . . 4 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H
9		spanss2 24746	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> A C_ ( span ` A ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A C_ ( span ` A )
11		spanss2 24746	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> B C_ ( span ` B ) )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- B C_ ( span ` B )
13		unss12 3526	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ( span ` A ) /\ B C_ ( span ` B ) ) -> ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) )
14	10, 12, 13	mp2an 672	. . . . 5 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) )
15	3, 6	shunssi 24769	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
16	14, 15	sstri 3363	. . . 4 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
17		spanss 24749	. . . 4 |- ( ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H /\ ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) -> ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) )
18	8, 16, 17	mp2an 672	. . 3 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
19		spanid 24748	. . . 4 |- ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH -> ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
21	18, 20	sseqtri 3386	. 2 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
22	3, 6	shseli 24717	. . . . 5 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) )
23		r2ex 2751	. . . . 5 |- ( E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
24	22, 23	bitri 249	. . . 4 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
25		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
26	25	elspani 24944	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~H -> ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) ) )
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) )
28		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
29	28	elspani 24944	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ ~H -> ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) )
31	27, 30	anbi12i 697	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
32		r19.26 2847	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
33	31, 32	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) )
34		r19.27av 2853	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
35	33, 34	sylanb 472	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
36		unss 3528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ y /\ B C_ y ) <-> ( A u. B ) C_ y )
37		prth 571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A C_ y /\ B C_ y ) -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
38	36, 37	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
39		shaddcl 24617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. SH /\ z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y )
40	39	3expib 1190	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. SH -> ( ( z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y ) )
41	38, 40	sylan9r 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z +h w ) e. y ) )
42		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +h w ) -> ( x e. y <-> ( z +h w ) e. y ) )
43	42	biimprd 223	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +h w ) -> ( ( z +h w ) e. y -> x e. y ) )
44	41, 43	sylan9 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
45	44	expl 618	. . . . . . . 8 |- ( y e. SH -> ( ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
46	45	ralimia 2787	. . . . . . 7 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
47	1, 4	unssi 3529	. . . . . . . 8 |- ( A u. B ) C_ ~H
48		vex 2973	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
49	48	elspani 24944	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) C_ ~H -> ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
51	46, 50	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
52	35, 51	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
53	52	exlimivv 1689	. . . 4 |- ( E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
54	24, 53	sylbi 195	. . 3 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
55	54	ssriv 3358	. 2 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ( span ` ( A u. B ) )
56	21, 55	eqssi 3370	1 |- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   u. cun 3324   C_ wss 3326   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ~Hchil 24319   +h cva 24320   SHcsh 24328   +H cph 24331   spancspn 24332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360  ax-hilex 24399  ax-hfvadd 24400  ax-hvcom 24401  ax-hvass 24402  ax-hv0cl 24403  ax-hvaddid 24404  ax-hfvmul 24405  ax-hvmulid 24406  ax-hvmulass 24407  ax-hvdistr1 24408  ax-hvdistr2 24409  ax-hvmul0 24410  ax-hfi 24479  ax-his1 24482  ax-his2 24483  ax-his3 24484  ax-his4 24485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-icc 11305  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-lm 18831  df-haus 18917  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977  df-hnorm 24368  df-hvsub 24371  df-hlim 24372  df-sh 24607  df-ch 24622  df-ch0 24654  df-shs 24709  df-span 24710

This theorem is referenced by:  spanun  24946  spanunsni  24980  spansnji  25047