Theorem spanuni 26660

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A C_ ~H
spanun.2	|- B C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
2		spancl 26452	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( span ` A ) e. SH )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` A ) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B C_ ~H
5		spancl 26452	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> ( span ` B ) e. SH )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` B ) e. SH
7	3, 6	shscli 26433	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH
8	7	shssii 26328	. . . 4 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H
9		spanss2 26461	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> A C_ ( span ` A ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A C_ ( span ` A )
11		spanss2 26461	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> B C_ ( span ` B ) )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- B C_ ( span ` B )
13		unss12 3662	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ( span ` A ) /\ B C_ ( span ` B ) ) -> ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) )
14	10, 12, 13	mp2an 670	. . . . 5 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) )
15	3, 6	shunssi 26484	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
16	14, 15	sstri 3498	. . . 4 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
17		spanss 26464	. . . 4 |- ( ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H /\ ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) -> ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) )
18	8, 16, 17	mp2an 670	. . 3 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
19		spanid 26463	. . . 4 |- ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH -> ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
21	18, 20	sseqtri 3521	. 2 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
22	3, 6	shseli 26432	. . . . 5 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) )
23		r2ex 2977	. . . . 5 |- ( E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
24	22, 23	bitri 249	. . . 4 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
25		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
26	25	elspani 26659	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~H -> ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) ) )
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) )
28		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
29	28	elspani 26659	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ ~H -> ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) )
31	27, 30	anbi12i 695	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
32		r19.26 2981	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
33	31, 32	bitr4i 252	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) )
34		r19.27v 2987	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
35	33, 34	sylanb 470	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
36		unss 3664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ y /\ B C_ y ) <-> ( A u. B ) C_ y )
37		prth 569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A C_ y /\ B C_ y ) -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
38	36, 37	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
39		shaddcl 26332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. SH /\ z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y )
40	39	3expib 1197	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. SH -> ( ( z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y ) )
41	38, 40	sylan9r 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z +h w ) e. y ) )
42		eleq1 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +h w ) -> ( x e. y <-> ( z +h w ) e. y ) )
43	42	biimprd 223	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +h w ) -> ( ( z +h w ) e. y -> x e. y ) )
44	41, 43	sylan9 655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
45	44	expl 616	. . . . . . . 8 |- ( y e. SH -> ( ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
46	45	ralimia 2845	. . . . . . 7 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
47	1, 4	unssi 3665	. . . . . . . 8 |- ( A u. B ) C_ ~H
48		vex 3109	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
49	48	elspani 26659	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) C_ ~H -> ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
51	46, 50	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
52	35, 51	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
53	52	exlimivv 1728	. . . 4 |- ( E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
54	24, 53	sylbi 195	. . 3 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
55	54	ssriv 3493	. 2 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ( span ` ( A u. B ) )
56	21, 55	eqssi 3505	1 |- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   u. cun 3459   C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ~Hchil 26034   +h cva 26035   SHcsh 26043   +H cph 26046   spancspn 26047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-lm 19897  df-haus 19983  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-hnorm 26083  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-sh 26322  df-ch 26337  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-span 26425

This theorem is referenced by:  spanun  26661  spanunsni  26695  spansnji  26762