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Theorem spanuni 26660
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spanun.1  |-  A  C_  ~H
spanun.2  |-  B  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
spanuni  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )

Proof of Theorem spanuni
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanun.1 . . . . . . 7  |-  A  C_  ~H
2 spancl 26452 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( span `  A )  e.  SH
4 spanun.2 . . . . . . 7  |-  B  C_  ~H
5 spancl 26452 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  e.  SH )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( span `  B )  e.  SH
73, 6shscli 26433 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  e.  SH
87shssii 26328 . . . 4  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ~H
9 spanss2 26461 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)
101, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A  C_  ( span `  A )
11 spanss2 26461 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ~H  ->  B  C_  ( span `  B )
)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  B  C_  ( span `  B )
13 unss12 3662 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( span `  A )  /\  B  C_  ( span `  B
) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) ) )
1410, 12, 13mp2an 670 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  u.  ( span `  B ) )
153, 6shunssi 26484 . . . . 5  |-  ( (
span `  A )  u.  ( span `  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
1614, 15sstri 3498 . . . 4  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
17 spanss 26464 . . . 4  |-  ( ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  C_  ~H  /\  ( A  u.  B )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) )  -> 
( span `  ( A  u.  B ) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B
) ) ) )
188, 16, 17mp2an 670 . . 3  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  ( span `  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
19 spanid 26463 . . . 4  |-  ( ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  e.  SH  ->  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) ) )
207, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( span `  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )  =  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )
2118, 20sseqtri 3521 . 2  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  C_  (
( span `  A )  +H  ( span `  B
) )
223, 6shseli 26432 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B ) x  =  ( z  +h  w
) )
23 r2ex 2977 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  ( span `  A ) E. w  e.  ( span `  B
) x  =  ( z  +h  w )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  <->  E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
25 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2625elspani 26659 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) ) )
271, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( span `  A
)  <->  A. y  e.  SH  ( A  C_  y  -> 
z  e.  y ) )
28 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
2928elspani 26659 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
) )
304, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( span `  B
)  <->  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)
3127, 30anbi12i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
32 r19.26 2981 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  SH  (
( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  SH  ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  A. y  e.  SH  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
3331, 32bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B
) )  <->  A. y  e.  SH  ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) ) )
34 r19.27v 2987 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  SH  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )
3533, 34sylanb 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y )
)  /\  x  =  ( z  +h  w
) ) )
36 unss 3664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  y  /\  B  C_  y )  <->  ( A  u.  B )  C_  y
)
37 prth 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  C_  y  /\  B  C_  y )  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y ) ) )
3836, 37syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  y  ->  ( z  e.  y  /\  w  e.  y )
) )
39 shaddcl 26332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  SH  /\  z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w
)  e.  y )
40393expib 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( z  e.  y  /\  w  e.  y )  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4138, 40sylan9r 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
42 eleq1 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
x  e.  y  <->  ( z  +h  w )  e.  y ) )
4342biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  (
( z  +h  w
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
4441, 43sylan9 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  SH  /\  ( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
4544expl 616 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  SH  ->  (
( ( ( A 
C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B  C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  -> 
( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
4645ralimia 2845 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
471, 4unssi 3665 . . . . . . . 8  |-  ( A  u.  B )  C_  ~H
48 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
4948elspani 26659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~H  ->  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) ) )
5047, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( span `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  SH  ( ( A  u.  B )  C_  y  ->  x  e.  y ) )
5146, 50sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  SH  (
( ( A  C_  y  ->  z  e.  y )  /\  ( B 
C_  y  ->  w  e.  y ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B
) ) )
5235, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5352exlimivv 1728 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( ( z  e.  (
span `  A )  /\  w  e.  ( span `  B ) )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  ->  x  e.  ( span `  ( A  u.  B ) ) )
5424, 53sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( span `  A )  +H  ( span `  B ) )  ->  x  e.  (
span `  ( A  u.  B ) ) )
5554ssriv 3493 . 2  |-  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  C_  ( span `  ( A  u.  B ) )
5621, 55eqssi 3505 1  |-  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    u. cun 3459    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ~Hchil 26034    +h cva 26035   SHcsh 26043    +H cph 26046   spancspn 26047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 26114  ax-hfvadd 26115  ax-hvcom 26116  ax-hvass 26117  ax-hv0cl 26118  ax-hvaddid 26119  ax-hfvmul 26120  ax-hvmulid 26121  ax-hvmulass 26122  ax-hvdistr1 26123  ax-hvdistr2 26124  ax-hvmul0 26125  ax-hfi 26194  ax-his1 26197  ax-his2 26198  ax-his3 26199  ax-his4 26200
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-lm 19897  df-haus 19983  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-hnorm 26083  df-hvsub 26086  df-hlim 26087  df-sh 26322  df-ch 26337  df-ch0 26369  df-shs 26424  df-span 26425
This theorem is referenced by:  spanun  26661  spanunsni  26695  spansnji  26762
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