Theorem spanun 26863

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanun	|- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3589	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) )
2	1	fveq2d 5852	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) )
3		fveq2 5848	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` A ) = ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) )
4	3	oveq1d 6292	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2424	. 2 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) ) )
6		uneq2 3590	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
7	6	fveq2d 5852	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
8		fveq2 5848	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` B ) = ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
9	8	oveq2d 6293	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2424	. 2 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) ) )
11		sseq1 3462	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
12		sseq1 3462	. . . 4 |- ( ~H = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
13		ssid 3460	. . . 4 |- ~H C_ ~H
14	11, 12, 13	elimhyp 3942	. . 3 |- if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H
15		sseq1 3462	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( B C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
16		sseq1 3462	. . . 4 |- ( ~H = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
17	15, 16, 13	elimhyp 3942	. . 3 |- if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H
18	14, 17	spanuni 26862	. 2 |- ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
19	5, 10, 18	dedth2h 3936	1 |- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   u. cun 3411   C_ wss 3413   ifcif 3884   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ~Hchil 26236   +H cph 26248   spancspn 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-lm 20021  df-haus 20107  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-hnorm 26285  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-sh 26524  df-ch 26539  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-span 26627

This theorem is referenced by:  spanpr  26898  superpos  27672