Theorem spanun 26136

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanun	|- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3651	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) )
2	1	fveq2d 5868	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) )
3		fveq2 5864	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` A ) = ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) )
4	3	oveq1d 6297	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2489	. 2 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) ) )
6		uneq2 3652	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
7	6	fveq2d 5868	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
8		fveq2 5864	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` B ) = ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
9	8	oveq2d 6298	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2489	. 2 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) ) )
11		sseq1 3525	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
12		sseq1 3525	. . . 4 |- ( ~H = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
13		ssid 3523	. . . 4 |- ~H C_ ~H
14	11, 12, 13	elimhyp 3998	. . 3 |- if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H
15		sseq1 3525	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( B C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
16		sseq1 3525	. . . 4 |- ( ~H = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
17	15, 16, 13	elimhyp 3998	. . 3 |- if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H
18	14, 17	spanuni 26135	. 2 |- ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
19	5, 10, 18	dedth2h 3992	1 |- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   u. cun 3474   C_ wss 3476   ifcif 3939   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ~Hchil 25509   +H cph 25521   spancspn 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25589  ax-hfvadd 25590  ax-hvcom 25591  ax-hvass 25592  ax-hv0cl 25593  ax-hvaddid 25594  ax-hfvmul 25595  ax-hvmulid 25596  ax-hvmulass 25597  ax-hvdistr1 25598  ax-hvdistr2 25599  ax-hvmul0 25600  ax-hfi 25669  ax-his1 25672  ax-his2 25673  ax-his3 25674  ax-his4 25675

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-lm 19493  df-haus 19579  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-gdiv 24869  df-ablo 24957  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-vs 25165  df-nmcv 25166  df-ims 25167  df-hnorm 25558  df-hvsub 25561  df-hlim 25562  df-sh 25797  df-ch 25812  df-ch0 25844  df-shs 25899  df-span 25900

This theorem is referenced by:  spanpr  26171  superpos  26946