Theorem spanun 25080

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanun	|- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3598	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) )
2	1	fveq2d 5790	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) )
3		fveq2 5786	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( span ` A ) = ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) )
4	3	oveq1d 6202	. . 3 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2472	. 2 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) ) )
6		uneq2 3599	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) = ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
7	6	fveq2d 5790	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
8		fveq2 5786	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( span ` B ) = ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
9	8	oveq2d 6203	. . 3 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2472	. 2 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. B ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` B ) ) <-> ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) ) )
11		sseq1 3472	. . . 4 |- ( A = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( A C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
12		sseq1 3472	. . . 4 |- ( ~H = if ( A C_ ~H , A , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H ) )
13		ssid 3470	. . . 4 |- ~H C_ ~H
14	11, 12, 13	elimhyp 3943	. . 3 |- if ( A C_ ~H , A , ~H ) C_ ~H
15		sseq1 3472	. . . 4 |- ( B = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( B C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
16		sseq1 3472	. . . 4 |- ( ~H = if ( B C_ ~H , B , ~H ) -> ( ~H C_ ~H <-> if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H ) )
17	15, 16, 13	elimhyp 3943	. . 3 |- if ( B C_ ~H , B , ~H ) C_ ~H
18	14, 17	spanuni 25079	. 2 |- ( span ` ( if ( A C_ ~H , A , ~H ) u. if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) ) = ( ( span ` if ( A C_ ~H , A , ~H ) ) +H ( span ` if ( B C_ ~H , B , ~H ) ) )
19	5, 10, 18	dedth2h 3937	1 |- ( ( A C_ ~H /\ B C_ ~H ) -> ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   u. cun 3421   C_ wss 3423   ifcif 3886   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   ~Hchil 24453   +H cph 24465   spancspn 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458  ax-addf 9459  ax-mulf 9460  ax-hilex 24533  ax-hfvadd 24534  ax-hvcom 24535  ax-hvass 24536  ax-hv0cl 24537  ax-hvaddid 24538  ax-hfvmul 24539  ax-hvmulid 24540  ax-hvmulass 24541  ax-hvdistr1 24542  ax-hvdistr2 24543  ax-hvmul0 24544  ax-hfi 24613  ax-his1 24616  ax-his2 24617  ax-his3 24618  ax-his4 24619

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-q 11052  df-rp 11090  df-xneg 11187  df-xadd 11188  df-xmul 11189  df-icc 11405  df-seq 11905  df-exp 11964  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-topgen 14481  df-psmet 17915  df-xmet 17916  df-met 17917  df-bl 17918  df-mopn 17919  df-top 18616  df-bases 18618  df-topon 18619  df-lm 18946  df-haus 19032  df-grpo 23810  df-gid 23811  df-ginv 23812  df-gdiv 23813  df-ablo 23901  df-vc 24056  df-nv 24102  df-va 24105  df-ba 24106  df-sm 24107  df-0v 24108  df-vs 24109  df-nmcv 24110  df-ims 24111  df-hnorm 24502  df-hvsub 24505  df-hlim 24506  df-sh 24741  df-ch 24756  df-ch0 24788  df-shs 24843  df-span 24844

This theorem is referenced by:  spanpr  25115  superpos  25890