HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Structured version   Unicode version

Theorem spanun 26863
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )

Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 3589 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( A  u.  B )  =  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )
21fveq2d 5852 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B
) )  =  (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B ) ) )
3 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( span `  A )  =  (
span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H ) ) )
43oveq1d 6292 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( (
span `  A )  +H  ( span `  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) ) )
52, 4eqeq12d 2424 . 2  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( (
span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) )  <->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) ) ) )
6 uneq2 3590 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B )  =  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )
76fveq2d 5852 . . 3  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B
) )  =  (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) )
8 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( span `  B )  =  (
span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) )
98oveq2d 6293 . . 3  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( (
span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H ) )  +H  ( span `  B
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) )
107, 9eqeq12d 2424 . 2  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( (
span `  ( if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  B ) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  B ) )  <->  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) ) ) )
11 sseq1 3462 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( A 
C_  ~H  <->  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H )
)
12 sseq1 3462 . . . 4  |-  ( ~H  =  if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  ->  ( ~H  C_  ~H  <->  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H )
)
13 ssid 3460 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
1411, 12, 13elimhyp 3942 . . 3  |-  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )  C_  ~H
15 sseq1 3462 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( B 
C_  ~H  <->  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H )
)
16 sseq1 3462 . . . 4  |-  ( ~H  =  if ( B 
C_  ~H ,  B ,  ~H )  ->  ( ~H  C_  ~H  <->  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H )
)
1715, 16, 13elimhyp 3942 . . 3  |-  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )  C_  ~H
1814, 17spanuni 26862 . 2  |-  ( span `  ( if ( A 
C_  ~H ,  A ,  ~H )  u.  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H )
) )  =  ( ( span `  if ( A  C_  ~H ,  A ,  ~H )
)  +H  ( span `  if ( B  C_  ~H ,  B ,  ~H ) ) )
195, 10, 18dedth2h 3936 1  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( span `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( span `  A
)  +H  ( span `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    u. cun 3411    C_ wss 3413   ifcif 3884   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ~Hchil 26236    +H cph 26248   spancspn 26249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvmulass 26324  ax-hvdistr1 26325  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327  ax-hfi 26396  ax-his1 26399  ax-his2 26400  ax-his3 26401  ax-his4 26402
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-lm 20021  df-haus 20107  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-gdiv 25596  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-vs 25892  df-nmcv 25893  df-ims 25894  df-hnorm 26285  df-hvsub 26288  df-hlim 26289  df-sh 26524  df-ch 26539  df-ch0 26571  df-shs 26626  df-span 26627
This theorem is referenced by:  spanpr  26898  superpos  27672
  Copyright terms: Public domain W3C validator