HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss2 Structured version   Unicode version

Theorem spanss2 26128
Description: A subset of Hilbert space is included in its span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)

Proof of Theorem spanss2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4285 . 2  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  A  C_  x }
2 spanval 26116 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
31, 2syl5sseqr 3535 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( span `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4   {crab 2795    C_ wss 3458   |^|cint 4267   ` cfv 5574   ~Hchil 25701   SHcsh 25710   spancspn 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-hilex 25781  ax-hfvadd 25782  ax-hv0cl 25785  ax-hfvmul 25787
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-map 7420  df-nn 10538  df-hlim 25754  df-sh 25989  df-ch 26004  df-span 26092
This theorem is referenced by:  shsupunss  26129  spanuni  26327
  Copyright terms: Public domain W3C validator