Theorem spanss 10951

Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
spanss	|- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> (span` A) C_ (span` B))

Proof of Theorem spanss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . . . . 7 |- (A C_ B -> (B C_ x -> A C_ x))
2	1	a1d 15	. . . . . 6 |- (A C_ B -> (x e. SH -> (B C_ x -> A C_ x)))
3	2	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- (A C_ B -> A.x e. SH (B C_ x -> A C_ x))
4		ss2rab 2683	. . . . 5 |- ({x e. SH | B C_ x} C_ {x e. SH | A C_ x} <-> A.x e. SH (B C_ x -> A C_ x))
5	3, 4	sylibr 217	. . . 4 |- (A C_ B -> {x e. SH | B C_ x} C_ {x e. SH | A C_ x})
6		intss 3239	. . . 4 |- ({x e. SH | B C_ x} C_ {x e. SH | A C_ x} -> |^|{x e. SH | A C_ x} C_ |^|{x e. SH | B C_ x})
7	5, 6	syl 12	. . 3 |- (A C_ B -> |^|{x e. SH | A C_ x} C_ |^|{x e. SH | B C_ x})
8	7	adantl 424	. 2 |- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> |^|{x e. SH | A C_ x} C_ |^|{x e. SH | B C_ x})
9		sstr 2625	. . . 4 |- ((A C_ B /\ B C_ ~H) -> A C_ ~H)
10	9	ancoms 484	. . 3 |- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> A C_ ~H)
11		spanval 10932	. . 3 |- (A C_ ~H -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})
12	10, 11	syl 12	. 2 |- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> (span` A) = |^|{x e. SH | A C_ x})
13		spanval 10932	. . 3 |- (B C_ ~H -> (span` B) = |^|{x e. SH | B C_ x})
14	13	adantr 425	. 2 |- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> (span` B) = |^|{x e. SH | B C_ x})
15	8, 12, 14	3sstr4d 2660	1 |- ((B C_ ~H /\ A C_ B) -> (span` A) C_ (span` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593  |^|cint 3214  ` cfv 3998  ~Hchil 10420  SHcsh 10429  spancspn 10433

This theorem is referenced by:  spanssoc 10952  span0 11098  spanuni 11100  spansnpji 11134  shatomistici 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-hlim 10473  df-sh 10709  df-ch 10725  df-span 10907

Copyright terms: Public domain