HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss Structured version   Unicode version

Theorem spanss 26877
Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)

Proof of Theorem spanss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3468 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  x  ->  A  C_  x ) )
21ralrimivw 2838 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
3 ss2rab 3534 . . . . 5  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  <->  A. x  e.  SH  ( B  C_  x  ->  A  C_  x
) )
42, 3sylibr 215 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
5 intss 4270 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  B  C_  x }  C_  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  ->  |^|
{ x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_ 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
76adantl 467 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
8 sstr 3469 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  ~H )  ->  A  C_  ~H )
98ancoms 454 . . 3  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
~H )
10 spanval 26862 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
119, 10syl 17 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  = 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }
)
12 spanval 26862 . . 3  |-  ( B 
C_  ~H  ->  ( span `  B )  =  |^| { x  e.  SH  |  B  C_  x } )
1312adantr 466 . 2  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  B  C_  x }
)
147, 11, 133sstr4d 3504 1  |-  ( ( B  C_  ~H  /\  A  C_  B )  ->  ( span `  A )  C_  ( span `  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   A.wral 2773   {crab 2777    C_ wss 3433   |^|cint 4249   ` cfv 5592   ~Hchil 26448   SHcsh 26457   spancspn 26461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-hilex 26528  ax-hfvadd 26529  ax-hv0cl 26532  ax-hfvmul 26534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-map 7473  df-nn 10599  df-hlim 26501  df-sh 26736  df-ch 26750  df-span 26838
This theorem is referenced by:  spanssoc  26878  span0  27071  spanuni  27073  spansnpji  27107  shatomistici  27890
  Copyright terms: Public domain W3C validator