HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansnpji Structured version   Unicode version

Theorem spansnpji 26368
Description: A subset of Hilbert space is orthogonal to the span of the singleton of a projection onto its orthocomplement. (Contributed by NM, 4-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansnpj.1  |-  A  C_  ~H
spansnpj.2  |-  B  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansnpji  |-  A  C_  ( _|_ `  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )

Proof of Theorem spansnpji
StepHypRef Expression
1 spansnpj.1 . . 3  |-  A  C_  ~H
2 ococss 26083 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  A  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) )
4 occl 26094 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  CH )
51, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
65chssii 26021 . . . . 5  |-  ( _|_ `  A )  C_  ~H
7 spansnpj.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
~H
85, 7pjclii 26211 . . . . . 6  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ( _|_ `  A )
9 snssi 4159 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ( _|_ `  A
)  ->  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ( _|_ `  A ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ( _|_ `  A )
11 spanss 26138 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) }  C_  ( _|_ `  A ) )  -> 
( span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  C_  ( span `  ( _|_ `  A
) ) )
126, 10, 11mp2an 672 . . . 4  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) 
C_  ( span `  ( _|_ `  A ) )
135chshii 26017 . . . . 5  |-  ( _|_ `  A )  e.  SH
14 spanid 26137 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  ( span `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  A ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  A )
1612, 15sseqtri 3521 . . 3  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) 
C_  ( _|_ `  A
)
175, 7pjhclii 26212 . . . . 5  |-  ( (
proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B )  e.  ~H
1817spansnchi 26352 . . . 4  |-  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  e.  CH
1918, 5chsscon3i 26251 . . 3  |-  ( (
span `  { (
( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } )  C_  ( _|_ `  A )  <->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) ) )
2016, 19mpbi 208 . 2  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  C_  ( _|_ `  ( span `  {
( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
213, 20sstri 3498 1  |-  A  C_  ( _|_ `  ( span `  { ( ( proj h `  ( _|_ `  A ) ) `  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578   ~Hchil 25708   SHcsh 25717   CHcch 25718   _|_cort 25719   spancspn 25721   proj hcpjh 25726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hvcom 25790  ax-hvass 25791  ax-hv0cl 25792  ax-hvaddid 25793  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulid 25795  ax-hvmulass 25796  ax-hvdistr1 25797  ax-hvdistr2 25798  ax-hvmul0 25799  ax-hfi 25868  ax-his1 25871  ax-his2 25872  ax-his3 25873  ax-his4 25874  ax-hcompl 25991
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-lm 19603  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cfil 21567  df-cau 21568  df-cmet 21569  df-grpo 25065  df-gid 25066  df-ginv 25067  df-gdiv 25068  df-ablo 25156  df-subgo 25176  df-vc 25311  df-nv 25357  df-va 25360  df-ba 25361  df-sm 25362  df-0v 25363  df-vs 25364  df-nmcv 25365  df-ims 25366  df-dip 25483  df-ssp 25507  df-ph 25600  df-cbn 25651  df-hnorm 25757  df-hba 25758  df-hvsub 25760  df-hlim 25761  df-hcau 25762  df-sh 25996  df-ch 26011  df-oc 26042  df-ch0 26043  df-shs 26098  df-span 26099  df-pjh 26185
This theorem is referenced by:  spansnji  26436
  Copyright terms: Public domain W3C validator