HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansneleq Structured version   Unicode version

Theorem spansneleq 26615
Description: Membership relation that implies equality of spans. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansneleq  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  e.  (
span `  { B } )  ->  ( span `  { A }
)  =  ( span `  { B } ) ) )

Proof of Theorem spansneleq
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elspansn 26611 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  e.  ( span `  { B } )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  e.  (
span `  { B } )  <->  E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B ) ) )
3 sneq 4042 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  { A }  =  { (
x  .h  B ) } )
43fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  ( span `  { A }
)  =  ( span `  { ( x  .h  B ) } ) )
54ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  ( x  e.  CC  /\  A  =  ( x  .h  B ) ) )  ->  ( span `  { A } )  =  ( span `  {
( x  .h  B
) } ) )
6 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .h  B )  =  ( 0  .h  B ) )
7 ax-hvmul0 26054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
0  .h  B )  =  0h )
86, 7sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  x  =  0 )  ->  ( x  .h  B )  =  0h )
98ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
x  =  0  -> 
( x  .h  B
)  =  0h )
)
10 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  ( A  =  0h  <->  ( x  .h  B )  =  0h ) )
1110biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  (
( x  .h  B
)  =  0h  ->  A  =  0h ) )
129, 11sylan9 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =  ( x  .h  B ) )  -> 
( x  =  0  ->  A  =  0h ) )
1312necon3d 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =  ( x  .h  B ) )  -> 
( A  =/=  0h  ->  x  =/=  0 ) )
1413ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  ( A  =/=  0h  ->  x  =/=  0 ) ) )
1514com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  ->  x  =/=  0 ) ) )
1615impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
( A  =/=  0h  /\  A  =  ( x  .h  B ) )  ->  x  =/=  0
) )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  =/= 
0h  /\  A  =  ( x  .h  B
) )  ->  x  =/=  0 ) )
18 spansncol 26613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  ( span `  { ( x  .h  B ) } )  =  ( span `  { B } ) )
19183expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  =/=  0  ->  ( span `  {
( x  .h  B
) } )  =  ( span `  { B } ) ) )
2017, 19syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  =/= 
0h  /\  A  =  ( x  .h  B
) )  ->  ( span `  { ( x  .h  B ) } )  =  ( span `  { B } ) ) )
2120exp4b 607 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~H  ->  (
x  e.  CC  ->  ( A  =/=  0h  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  -> 
( span `  { (
x  .h  B ) } )  =  (
span `  { B } ) ) ) ) )
2221com23 78 . . . . 5  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  ->  (
x  e.  CC  ->  ( A  =  ( x  .h  B )  -> 
( span `  { (
x  .h  B ) } )  =  (
span `  { B } ) ) ) ) )
2322imp43 595 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  ( x  e.  CC  /\  A  =  ( x  .h  B ) ) )  ->  ( span `  { ( x  .h  B ) } )  =  ( span `  { B } ) )
245, 23eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  ( x  e.  CC  /\  A  =  ( x  .h  B ) ) )  ->  ( span `  { A } )  =  ( span `  { B } ) )
2524rexlimdvaa 2950 . 2  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( E. x  e.  CC  A  =  ( x  .h  B )  ->  ( span `  { A } )  =  (
span `  { B } ) ) )
262, 25sylbid 215 1  |-  ( ( B  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  e.  (
span `  { B } )  ->  ( span `  { A }
)  =  ( span `  { B } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   ~Hchil 25963    .h csm 25965   0hc0v 25968   spancspn 25976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his1 26126  ax-his2 26127  ax-his3 26128  ax-his4 26129  ax-hcompl 26246
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-lm 19857  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cfil 21820  df-cau 21821  df-cmet 21822  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-subgo 25431  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-dip 25738  df-ssp 25762  df-ph 25855  df-cbn 25906  df-hnorm 26012  df-hba 26013  df-hvsub 26015  df-hlim 26016  df-hcau 26017  df-sh 26251  df-ch 26266  df-oc 26297  df-ch0 26298  df-span 26354
This theorem is referenced by:  elspansn4  26618  spansncvi  26697  superpos  27400
  Copyright terms: Public domain W3C validator