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Theorem spansncvi 26246
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1  |-  A  e. 
CH
spansncv.2  |-  B  e. 
CH
spansncv.3  |-  C  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansncvi  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
2 pssss 3599 . . . 4  |-  ( A 
C.  B  ->  A  C_  B )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  A  C_  B
)
4 pssnel 3892 . . . . . . 7  |-  ( A 
C.  B  ->  E. x
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )
5 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
CH
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  e. 
~H
86, 7spansnji 26240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  =  ( A  vH  ( span `  { C }
) )
98eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C }
) ) )
107spansnchi 26156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( span `  { C } )  e.  CH
116, 10chseli 26053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
129, 11bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
x  e.  B  <->  ( y  +h  z )  e.  B
) )
1413biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( y  +h  z
)  e.  B )
152sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  B  e. 
CH
1716chshii 25821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  B  e.  SH
18 shsubcl 25814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
1917, 18mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2014, 15, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  ( A 
C.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2120exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2221com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2322imp45 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
246cheli 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
2510cheli 25826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  z  e.  ~H )
26 hvpncan2 25633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  =  z )
2724, 25, 26syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  +h  z )  -h  y )  =  z )
2827eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
( y  +h  z
)  -h  y )  e.  B  <->  z  e.  B ) )
2923, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C }
) )  /\  (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) ) )  ->  z  e.  B
)
3130anandis 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  (
span `  { C } )  /\  (
x  =  ( y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
) ) )  -> 
z  e.  B )
3231exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B )  ->  z  e.  B ) ) ) )
3332imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
3433adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
35 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  0h  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h 
0h ) )
36 ax-hvaddid 25597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3724, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3835, 37sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( y  +h  z
)  =  y )
3938eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  y ) )
40 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A
) )
4239, 41sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( z  =  0h  ->  x  e.  A ) )
4443necon3bd 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  z  =/=  0h ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  z  =/=  0h )
46 spansnss 26165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  ( span `  {
z } )  C_  B )
4717, 46mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  ->  ( span `  { z } )  C_  B )
48 spansneleq 26164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { C } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
497, 48mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  0h  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( span `  {
z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) )
5150sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( ( span `  { z } )  C_  B  <->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5247, 51syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5352ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5445, 53sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) )
5554exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
) ) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) ) ) ) )
5756imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5857adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( span `  { C } )  C_  B
)
6059exp43 612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) ) )
6160rexlimivv 2960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6212, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
635, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6564anandirs 829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
6665expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
)
6766exlimdv 1700 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
684, 67syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) ) )
7069pm2.43d 48 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
7170impcom 430 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( span `  { C } )  C_  B
)
726, 10, 16chlubii 26066 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( span `  { C } )  C_  B
)  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
733, 71, 72syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
741, 73eqssd 3521 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    C_ wss 3476    C. wpss 3477   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ~Hchil 25512    +h cva 25513   0hc0v 25517    -h cmv 25518   SHcsh 25521   CHcch 25522    +H cph 25524   spancspn 25525    vH chj 25526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678  ax-hcompl 25795
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-lm 19496  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cfil 21429  df-cau 21430  df-cmet 21431  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-subgo 24980  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-dip 25287  df-ssp 25311  df-ph 25404  df-cbn 25455  df-hnorm 25561  df-hba 25562  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-hcau 25566  df-sh 25800  df-ch 25815  df-oc 25846  df-ch0 25847  df-shs 25902  df-span 25903  df-chj 25904  df-pjh 25989
This theorem is referenced by:  spansncv  26247
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