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Theorem spansncvi 25200
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1  |-  A  e. 
CH
spansncv.2  |-  B  e. 
CH
spansncv.3  |-  C  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansncvi  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
2 pssss 3552 . . . 4  |-  ( A 
C.  B  ->  A  C_  B )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  A  C_  B
)
4 pssnel 3845 . . . . . . 7  |-  ( A 
C.  B  ->  E. x
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )
5 ssel2 3452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
CH
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  e. 
~H
86, 7spansnji 25194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  =  ( A  vH  ( span `  { C }
) )
98eleq2i 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C }
) ) )
107spansnchi 25110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( span `  { C } )  e.  CH
116, 10chseli 25007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
129, 11bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
13 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
x  e.  B  <->  ( y  +h  z )  e.  B
) )
1413biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( y  +h  z
)  e.  B )
152sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  B  e. 
CH
1716chshii 24775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  B  e.  SH
18 shsubcl 24768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
1917, 18mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2014, 15, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  ( A 
C.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2120exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2221com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2322imp45 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
246cheli 24780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
2510cheli 24780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  z  e.  ~H )
26 hvpncan2 24587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  =  z )
2724, 25, 26syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  +h  z )  -h  y )  =  z )
2827eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
( y  +h  z
)  -h  y )  e.  B  <->  z  e.  B ) )
2923, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C }
) )  /\  (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) ) )  ->  z  e.  B
)
3130anandis 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  (
span `  { C } )  /\  (
x  =  ( y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
) ) )  -> 
z  e.  B )
3231exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B )  ->  z  e.  B ) ) ) )
3332imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
3433adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
35 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  0h  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h 
0h ) )
36 ax-hvaddid 24551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3724, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3835, 37sylan9eqr 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( y  +h  z
)  =  y )
3938eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  y ) )
40 eleq1a 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A
) )
4239, 41sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( z  =  0h  ->  x  e.  A ) )
4443necon3bd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  z  =/=  0h ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  z  =/=  0h )
46 spansnss 25119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  ( span `  {
z } )  C_  B )
4717, 46mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  ->  ( span `  { z } )  C_  B )
48 spansneleq 25118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { C } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
497, 48mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  0h  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( span `  {
z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) )
5150sseq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( ( span `  { z } )  C_  B  <->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5247, 51syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5352ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5445, 53sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) )
5554exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
) ) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) ) ) ) )
5756imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5857adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( span `  { C } )  C_  B
)
6059exp43 612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) ) )
6160rexlimivv 2945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6212, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
635, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6564anandirs 827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
6665expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
)
6766exlimdv 1691 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
684, 67syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) ) )
7069pm2.43d 48 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
7170impcom 430 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( span `  { C } )  C_  B
)
726, 10, 16chlubii 25020 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( span `  { C } )  C_  B
)  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
733, 71, 72syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
741, 73eqssd 3474 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    C_ wss 3429    C. wpss 3430   {csn 3978   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ~Hchil 24466    +h cva 24467   0hc0v 24471    -h cmv 24472   SHcsh 24475   CHcch 24476    +H cph 24478   spancspn 24479    vH chj 24480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cc 8708  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his1 24629  ax-his2 24630  ax-his3 24631  ax-his4 24632  ax-hcompl 24749
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-lm 18958  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cfil 20891  df-cau 20892  df-cmet 20893  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-subgo 23934  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123  df-ims 24124  df-dip 24241  df-ssp 24265  df-ph 24358  df-cbn 24409  df-hnorm 24515  df-hba 24516  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-hcau 24520  df-sh 24754  df-ch 24769  df-oc 24800  df-ch0 24801  df-shs 24856  df-span 24857  df-chj 24858  df-pjh 24943
This theorem is referenced by:  spansncv  25201
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