Theorem spansncvi 11232

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153.

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	|- A e. CH
spansncv.2	|- B e. CH
spansncv.3	|- C e. ~H

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	|- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> B = (A vH (span` {C})))

Proof of Theorem spansncvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 350	. 2 |- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> B C_ (A vH (span` {C})))
2		pssss 2705	. . . 4 |- (A C. B -> A C_ B)
3	2	adantr 425	. . 3 |- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> A C_ B)
4		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B C_ (A vH (span` {C})) /\ x e. B) -> x e. (A vH (span` {C})))
5		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A e. CH
6		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C e. ~H
7	5, 6	spansnji 11226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A +H (span` {C})) = (A vH (span` {C}))
8	7	eleq2i 1961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (A +H (span` {C})) <-> x e. (A vH (span` {C})))
9	6	spansnchi 11118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (span` {C}) e. CH
10	5, 9	chseli 11015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (A +H (span` {C})) <-> E.y e. A E.z e. (span` {C})x = (y +h z))
11	8, 10	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. (A vH (span` {C})) <-> E.y e. A E.z e. (span` {C})x = (y +h z))
12		hvpncan2 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) -h y) = z)
13	5	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. A -> y e. ~H)
14	9	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z e. (span` {C}) -> z e. ~H)
15	12, 13, 14	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. A /\ z e. (span` {C})) -> ((y +h z) -h y) = z)
16	15	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. A /\ z e. (span` {C})) -> (((y +h z) -h y) e. B <-> z e. B))
17		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- B e. CH
18	17	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- B e. SH
19		shsubclOLD 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (B e. SH -> (((y +h z) e. B /\ y e. B) -> ((y +h z) -h y) e. B))
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y +h z) e. B /\ y e. B) -> ((y +h z) -h y) e. B)
21		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (x = (y +h z) -> (x e. B <-> (y +h z) e. B))
22	21	biimpac 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((x e. B /\ x = (y +h z)) -> (y +h z) e. B)
23		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A C_ B /\ y e. A) -> y e. B)
24	23, 2	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((A C. B /\ y e. A) -> y e. B)
25	20, 22, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((x e. B /\ x = (y +h z)) /\ (A C. B /\ y e. A)) -> ((y +h z) -h y) e. B)
26	25	exp43 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. B -> (x = (y +h z) -> (A C. B -> (y e. A -> ((y +h z) -h y) e. B))))
27	26	com14 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. A -> (x = (y +h z) -> (A C. B -> (x e. B -> ((y +h z) -h y) e. B))))
28	27	imp45 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. A /\ (x = (y +h z) /\ (A C. B /\ x e. B))) -> ((y +h z) -h y) e. B)
29	16, 28	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. A /\ z e. (span` {C})) -> ((y e. A /\ (x = (y +h z) /\ (A C. B /\ x e. B))) -> z e. B))
30	29	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ (y e. A /\ (x = (y +h z) /\ (A C. B /\ x e. B)))) -> z e. B)
31	30	anandis 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. A /\ (z e. (span` {C}) /\ (x = (y +h z) /\ (A C. B /\ x e. B)))) -> z e. B)
32	31	exp45 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. A -> (z e. (span` {C}) -> (x = (y +h z) -> ((A C. B /\ x e. B) -> z e. B))))
33	32	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ x = (y +h z)) /\ (A C. B /\ x e. B)) -> z e. B)
34	33	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ x = (y +h z)) /\ ((A C. B /\ x e. B) /\ -. x e. A)) -> z e. B)
35		spansneleq 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((C e. ~H /\ z =/= 0h) -> (z e. (span` {C}) -> (span` {z}) = (span` {C})))
36	6, 35	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z =/= 0h -> (z e. (span` {C}) -> (span` {z}) = (span` {C})))
37	36	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((z =/= 0h /\ z e. (span` {C})) -> (span` {z}) = (span` {C}))
38	37	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((z =/= 0h /\ z e. (span` {C})) -> ((span` {z}) C_ B <-> (span` {C}) C_ B))
39		spansnss 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> (span` {z}) C_ B)
40	18, 39	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z e. B -> (span` {z}) C_ B)
41	38, 40	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((z =/= 0h /\ z e. (span` {C})) -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B))
42	41	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. (span` {C}) /\ z =/= 0h) -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B))
43		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (z = 0h -> (y +h z) = (y +h 0h))
44		ax-hvaddid 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (y e. ~H -> (y +h 0h) = y)
45	13, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (y e. A -> (y +h 0h) = y)
46	43, 45	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((y e. A /\ z = 0h) -> (y +h z) = y)
47	46	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((y e. A /\ z = 0h) -> (x = (y +h z) <-> x = y))
48		eleq1a 1966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (y e. A -> (x = y -> x e. A))
49	48	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((y e. A /\ z = 0h) -> (x = y -> x e. A))
50	47, 49	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. A /\ z = 0h) -> (x = (y +h z) -> x e. A))
51	50	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. A -> (z = 0h -> (x = (y +h z) -> x e. A)))
52	51	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. A -> (x = (y +h z) -> (z = 0h -> x e. A)))
53	52	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. A /\ x = (y +h z)) -> (z = 0h -> x e. A))
54	53	necon3bd 2039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. A /\ x = (y +h z)) -> (-. x e. A -> z =/= 0h))
55	54	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((y e. A /\ x = (y +h z)) /\ -. x e. A) -> z =/= 0h)
56	42, 55	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. (span` {C}) /\ ((y e. A /\ x = (y +h z)) /\ -. x e. A)) -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B))
57	56	exp44 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (z e. (span` {C}) -> (y e. A -> (x = (y +h z) -> (-. x e. A -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B)))))
58	57	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. A -> (z e. (span` {C}) -> (x = (y +h z) -> (-. x e. A -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B)))))
59	58	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ x = (y +h z)) /\ -. x e. A) -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B))
60	59	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ x = (y +h z)) /\ ((A C. B /\ x e. B) /\ -. x e. A)) -> (z e. B -> (span` {C}) C_ B))
61	34, 60	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((y e. A /\ z e. (span` {C})) /\ x = (y +h z)) /\ ((A C. B /\ x e. B) /\ -. x e. A)) -> (span` {C}) C_ B)
62	61	exp43 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. A /\ z e. (span` {C})) -> (x = (y +h z) -> ((A C. B /\ x e. B) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B))))
63	62	r19.23aivv 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (E.y e. A E.z e. (span` {C})x = (y +h z) -> ((A C. B /\ x e. B) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B)))
64	11, 63	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (A vH (span` {C})) -> ((A C. B /\ x e. B) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B)))
65	4, 64	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((B C_ (A vH (span` {C})) /\ x e. B) -> ((A C. B /\ x e. B) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B)))
66	65	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((B C_ (A vH (span` {C})) /\ x e. B) /\ (A C. B /\ x e. B)) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B))
67	66	anandirs 571	. . . . . . . . 9 |- (((B C_ (A vH (span` {C})) /\ A C. B) /\ x e. B) -> (-. x e. A -> (span` {C}) C_ B))
68	67	expimpd 404	. . . . . . . 8 |- ((B C_ (A vH (span` {C})) /\ A C. B) -> ((x e. B /\ -. x e. A) -> (span` {C}) C_ B))
69	68	19.23adv 1584	. . . . . . 7 |- ((B C_ (A vH (span` {C})) /\ A C. B) -> (E.x(x e. B /\ -. x e. A) -> (span` {C}) C_ B))
70		pssnel 2938	. . . . . . 7 |- (A C. B -> E.x(x e. B /\ -. x e. A))
71	69, 70	syl5 20	. . . . . 6 |- ((B C_ (A vH (span` {C})) /\ A C. B) -> (A C. B -> (span` {C}) C_ B))
72	71	ex 402	. . . . 5 |- (B C_ (A vH (span` {C})) -> (A C. B -> (A C. B -> (span` {C}) C_ B)))
73	72	pm2.43d 79	. . . 4 |- (B C_ (A vH (span` {C})) -> (A C. B -> (span` {C}) C_ B))
74	73	impcom 378	. . 3 |- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> (span` {C}) C_ B)
75	5, 9, 17	chlubii 11028	. . 3 |- ((A C_ B /\ (span` {C}) C_ B) -> (A vH (span` {C})) C_ B)
76	3, 74, 75	syl11anc 524	. 2 |- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> (A vH (span` {C})) C_ B)
77	1, 76	eqssd 2633	1 |- ((A C. B /\ B C_ (A vH (span` {C}))) -> B = (A vH (span` {C})))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106   C_ wss 2593   C. wpss 2594  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424  SHcsh 10429  CHcch 10430   +H cph 10432  spancspn 10433   vH chj 10434

This theorem is referenced by:  spansncv 11233

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-span 10907  df-chj 10908

Copyright terms: Public domain