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Theorem spansncvi 25006
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1  |-  A  e. 
CH
spansncv.2  |-  B  e. 
CH
spansncv.3  |-  C  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
spansncvi  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
2 pssss 3446 . . . 4  |-  ( A 
C.  B  ->  A  C_  B )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  A  C_  B
)
4 pssnel 3739 . . . . . . 7  |-  ( A 
C.  B  ->  E. x
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )
5 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e. 
CH
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  e. 
~H
86, 7spansnji 25000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  =  ( A  vH  ( span `  { C }
) )
98eleq2i 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  x  e.  ( A  vH  ( span `  { C }
) ) )
107spansnchi 24916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( span `  { C } )  e.  CH
116, 10chseli 24813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  +H  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
129, 11bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z
) )
13 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
x  e.  B  <->  ( y  +h  z )  e.  B
) )
1413biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( y  +h  z
)  e.  B )
152sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C.  B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  B )
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  B  e. 
CH
1716chshii 24581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  B  e.  SH
18 shsubcl 24574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  SH  /\  ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
1917, 18mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2014, 15, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  ( A 
C.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
2120exp43 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( y  e.  A  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2221com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  ( y  +h  z )  -> 
( A  C.  B  ->  ( x  e.  B  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B ) ) ) )
2322imp45 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
( ( y  +h  z )  -h  y
)  e.  B )
246cheli 24586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
2510cheli 24586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  z  e.  ~H )
26 hvpncan2 24393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  -h  y
)  =  z )
2724, 25, 26syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  +h  z )  -h  y )  =  z )
2827eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
( y  +h  z
)  -h  y )  e.  B  <->  z  e.  B ) )
2923, 28syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) )  -> 
z  e.  B ) )
3029imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C }
) )  /\  (
y  e.  A  /\  ( x  =  (
y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) ) ) )  ->  z  e.  B
)
3130anandis 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( z  e.  (
span `  { C } )  /\  (
x  =  ( y  +h  z )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
) ) )  -> 
z  e.  B )
3231exp45 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B )  ->  z  e.  B ) ) ) )
3332imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
3433adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
35 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  0h  ->  (
y  +h  z )  =  ( y  +h 
0h ) )
36 ax-hvaddid 24357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3724, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  (
y  +h  0h )  =  y )
3835, 37sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( y  +h  z
)  =  y )
3938eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  y ) )
40 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  A  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  A )
)
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  y  ->  x  e.  A
) )
4239, 41sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  =  0h )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( z  =  0h  ->  x  e.  A ) )
4443necon3bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  z  =/=  0h ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  =  (
y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  z  =/=  0h )
46 spansnss 24925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  ( span `  {
z } )  C_  B )
4717, 46mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  ->  ( span `  { z } )  C_  B )
48 spansneleq 24924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { C } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
497, 48mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  =/=  0h  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( span `  {
z } )  =  ( span `  { C } ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { C } ) )
5150sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( ( span `  { z } )  C_  B  <->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5247, 51syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  =/=  0h  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5352ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5445, 53sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( span `  { C } )  /\  ( ( y  e.  A  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) )
5554exp44 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( span `  { C } )  ->  (
y  e.  A  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
) ) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  (
z  e.  ( span `  { C } )  ->  ( x  =  ( y  +h  z
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  e.  B  -> 
( span `  { C } )  C_  B
) ) ) ) )
5756imp41 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  e.  B  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
5857adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  /\  x  =  ( y  +h  z ) )  /\  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( span `  { C } )  C_  B
)
6059exp43 612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( span `  { C } ) )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) ) )
6160rexlimivv 2841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  ( span `  { C } ) x  =  ( y  +h  z )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6212, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
635, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A  C.  B  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  A  ->  (
span `  { C } )  C_  B
) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  x  e.  B )  /\  ( A  C.  B  /\  x  e.  B
) )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6564anandirs 827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
6665expimpd 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( span `  { C }
)  C_  B )
)
6766exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( E. x ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( span `  { C } ) 
C_  B ) )
684, 67syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  /\  A  C.  B )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) ) )
7069pm2.43d 48 . . . 4  |-  ( B 
C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  -> 
( A  C.  B  ->  ( span `  { C } )  C_  B
) )
7170impcom 430 . . 3  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( span `  { C } )  C_  B
)
726, 10, 16chlubii 24826 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( span `  { C } )  C_  B
)  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
733, 71, 72syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  ( A  vH  ( span `  { C } ) )  C_  B )
741, 73eqssd 3368 1  |-  ( ( A  C.  B  /\  B  C_  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )  ->  B  =  ( A  vH  ( span `  { C } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711    C_ wss 3323    C. wpss 3324   {csn 3872   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272    +h cva 24273   0hc0v 24277    -h cmv 24278   SHcsh 24281   CHcch 24282    +H cph 24284   spancspn 24285    vH chj 24286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lm 18808  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-dip 24047  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607  df-shs 24662  df-span 24663  df-chj 24664  df-pjh 24749
This theorem is referenced by:  spansncv  25007
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