Theorem spansncol 11124

Description: The singletons of collinear vectors have the same span.

Assertion

Ref	Expression
spansncol	|- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Proof of Theorem spansncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 10509	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ B e. CC /\ A e. ~H) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
2	1	3com13 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
3	2	3expa 1067	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> ((y x. B) .h A) = (y .h (B .h A)))
4	3	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = ((y x. B) .h A) <-> x = (y .h (B .h A))))
5	4	biimprd 171	. . . . . . . 8 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> x = ((y x. B) .h A)))
6		mulcl 6456	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CC /\ B e. CC) -> (y x. B) e. CC)
7	6	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
8	7	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (y x. B) e. CC)
9	5, 8	jctild 662	. . . . . . 7 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> ((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A))))
10		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (z = (y x. B) -> (z .h A) = ((y x. B) .h A))
11	10	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (z = (y x. B) -> (x = (z .h A) <-> x = ((y x. B) .h A)))
12	11	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- (((y x. B) e. CC /\ x = ((y x. B) .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A))
13	9, 12	syl6 25	. . . . . 6 |- (((A e. ~H /\ B e. CC) /\ y e. CC) -> (x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
14	13	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- ((A e. ~H /\ B e. CC) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
15	14	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) -> E.z e. CC x = (z .h A)))
16		divcl 6901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z / B) e. CC)
17	16	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
18	17	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (z / B) e. CC)
19		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> B e. CC)
20		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> A e. ~H)
21		ax-hvmulass 10509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z / B) e. CC /\ B e. CC /\ A e. ~H) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
22	18, 19, 20, 21	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = ((z / B) .h (B .h A)))
23		divcan1 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((z / B) x. B) = z)
24	23	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. CC -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> ((z / B) x. B) = z)))
25	24	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
26	25	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) x. B) = z)
27	26	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (((z / B) x. B) .h A) = (z .h A))
28	22, 27	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((z / B) .h (B .h A)) = (z .h A))
29	28	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = ((z / B) .h (B .h A)) <-> x = (z .h A)))
30	29	biimprd 171	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> x = ((z / B) .h (B .h A))))
31	30, 18	jctild 662	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> ((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A)))))
32		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (z / B) -> (y .h (B .h A)) = ((z / B) .h (B .h A)))
33	32	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (y = (z / B) -> (x = (y .h (B .h A)) <-> x = ((z / B) .h (B .h A))))
34	33	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- (((z / B) e. CC /\ x = ((z / B) .h (B .h A))) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))
35	31, 34	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (((z e. CC /\ A e. ~H) /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
36	35	exp43 415	. . . . . . 7 |- (z e. CC -> (A e. ~H -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
37	36	com4l 43	. . . . . 6 |- (A e. ~H -> (B e. CC -> (B =/= 0 -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))))
38	37	3imp 1061	. . . . 5 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (z e. CC -> (x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A)))))
39	38	r19.23adv 2215	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.z e. CC x = (z .h A) -> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
40	15, 39	impbid 574	. . 3 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (E.y e. CC x = (y .h (B .h A)) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
41		hvmulcl 10515	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ A e. ~H) -> (B .h A) e. ~H)
42	41	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. ~H /\ B e. CC) -> (B .h A) e. ~H)
43		elspansn 11122	. . . . 5 |- ((B .h A) e. ~H -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
44	42, 43	syl 12	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ B e. CC) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
45	44	3adant3 896	. . 3 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> E.y e. CC x = (y .h (B .h A))))
46		elspansn 11122	. . . 4 |- (A e. ~H -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
47	46	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {A}) <-> E.z e. CC x = (z .h A)))
48	40, 45, 47	3bitr4d 609	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (x e. (span` {(B .h A)}) <-> x e. (span` {A})))
49	48	eqrdv 1882	1 |- ((A e. ~H /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> (span` {(B .h A)}) = (span` {A}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   x. cmul 6391   / cdiv 6447  ~Hchil 10420   .h csm 10422  spancspn 10433

This theorem is referenced by:  spansneleq 11126  superpos 11926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-span 10907

Copyright terms: Public domain