HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncol Structured version   Unicode version

Theorem spansncol 26300
Description: The singletons of collinear vectors have the same span. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansncol  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( span `  { ( B  .h  A ) } )  =  ( span `  { A } ) )

Proof of Theorem spansncol
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( y  x.  B
)  e.  CC )
21ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  x.  B
)  e.  CC )
32adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  x.  B )  e.  CC )
4 ax-hvmulass 25738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( y  x.  B
)  .h  A )  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) )
543com13 1201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( y  x.  B
)  .h  A )  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) )
653expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( y  x.  B )  .h  A )  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) ) )
76eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  ( ( y  x.  B )  .h  A
)  <->  x  =  (
y  .h  ( B  .h  A ) ) ) )
87biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  ( y  .h  ( B  .h  A )
)  ->  x  =  ( ( y  x.  B )  .h  A
) ) )
9 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  x.  B )  ->  (
z  .h  A )  =  ( ( y  x.  B )  .h  A ) )
109eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  x.  B )  ->  (
x  =  ( z  .h  A )  <->  x  =  ( ( y  x.  B )  .h  A
) ) )
1110rspcev 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  x.  B
)  e.  CC  /\  x  =  ( (
y  x.  B )  .h  A ) )  ->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) )
123, 8, 11syl6an 545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  ( y  .h  ( B  .h  A )
)  ->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
1312rexlimdva 2959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) )  ->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
14133adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) )  ->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
15 divcl 10225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
z  /  B )  e.  CC )
16153expb 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( z  /  B )  e.  CC )
1716adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( z  /  B )  e.  CC )
18 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  B  e.  CC )
19 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  A  e.  ~H )
20 ax-hvmulass 25738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  /  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( z  /  B )  x.  B
)  .h  A )  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A
) ) )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( (
( z  /  B
)  x.  B )  .h  A )  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A )
) )
22 divcan1 10228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( z  /  B
)  x.  B )  =  z )
23223expb 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( (
z  /  B )  x.  B )  =  z )
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( (
z  /  B )  x.  B )  =  z )
2524oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( (
( z  /  B
)  x.  B )  .h  A )  =  ( z  .h  A
) )
2621, 25eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( (
z  /  B )  .h  ( B  .h  A ) )  =  ( z  .h  A
) )
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( x  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A
) )  <->  x  =  ( z  .h  A
) ) )
2827biimprd 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  x  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A
) ) ) )
29 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  /  B )  ->  (
y  .h  ( B  .h  A ) )  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A
) ) )
3029eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  /  B )  ->  (
x  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) )  <->  x  =  ( ( z  /  B )  .h  ( B  .h  A )
) ) )
3130rspcev 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  /  B
)  e.  CC  /\  x  =  ( (
z  /  B )  .h  ( B  .h  A ) ) )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) )
3217, 28, 31syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) ) ) )
3332exp43 612 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  ( A  e.  ~H  ->  ( B  e.  CC  ->  ( B  =/=  0  -> 
( x  =  ( z  .h  A )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) ) ) ) ) )
3433com4l 84 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( B  e.  CC  ->  ( B  =/=  0  -> 
( z  e.  CC  ->  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) ) ) ) ) )
35343imp 1190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
z  e.  CC  ->  ( x  =  ( z  .h  A )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) ) ) )
3635rexlimdv 2957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A )  ->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) ) ) )
3714, 36impbid 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) )  <->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
38 hvmulcl 25744 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  ( B  .h  A
)  e.  ~H )
3938ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  .h  A
)  e.  ~H )
40 elspansn 26298 . . . . 5  |-  ( ( B  .h  A )  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( span `  { ( B  .h  A ) } )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  (
span `  { ( B  .h  A ) } )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A ) ) ) )
42413adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
x  e.  ( span `  { ( B  .h  A ) } )  <->  E. y  e.  CC  x  =  ( y  .h  ( B  .h  A
) ) ) )
43 elspansn 26298 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
x  e.  ( span `  { A } )  <->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
44433ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
x  e.  ( span `  { A } )  <->  E. z  e.  CC  x  =  ( z  .h  A ) ) )
4537, 42, 443bitr4d 285 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
x  e.  ( span `  { ( B  .h  A ) } )  <-> 
x  e.  ( span `  { A } ) ) )
4645eqrdv 2464 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( span `  { ( B  .h  A ) } )  =  ( span `  { A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504    x. cmul 9509    / cdiv 10218   ~Hchil 25650    .h csm 25652   spancspn 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvmulass 25738  ax-hvdistr1 25739  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his2 25814  ax-his3 25815  ax-his4 25816  ax-hcompl 25933
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25007  df-gid 25008  df-ginv 25009  df-gdiv 25010  df-ablo 25098  df-subgo 25118  df-vc 25253  df-nv 25299  df-va 25302  df-ba 25303  df-sm 25304  df-0v 25305  df-vs 25306  df-nmcv 25307  df-ims 25308  df-dip 25425  df-ssp 25449  df-ph 25542  df-cbn 25593  df-hnorm 25699  df-hba 25700  df-hvsub 25702  df-hlim 25703  df-hcau 25704  df-sh 25938  df-ch 25953  df-oc 25984  df-ch0 25985  df-span 26041
This theorem is referenced by:  spansneleq  26302  superpos  27087
  Copyright terms: Public domain W3C validator