HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansn0 Structured version   Unicode version

Theorem spansn0 26232
Description: The span of the singleton of the zero vector is the zero subspace. (Contributed by NM, 14-Jan-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansn0  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H

Proof of Theorem spansn0
StepHypRef Expression
1 df-ch0 25944 . . 3  |-  0H  =  { 0h }
21fveq2i 5869 . 2  |-  ( span `  0H )  =  (
span `  { 0h }
)
3 h0elsh 25947 . . 3  |-  0H  e.  SH
4 spanid 26038 . . 3  |-  ( 0H  e.  SH  ->  ( span `  0H )  =  0H )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( span `  0H )  =  0H
62, 5eqtr3i 2498 1  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   ` cfv 5588   0hc0v 25614   SHcsh 25618   spancspn 25622   0Hc0h 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hvcom 25691  ax-hvass 25692  ax-hv0cl 25693  ax-hvaddid 25694  ax-hfvmul 25695  ax-hvmulid 25696  ax-hvmulass 25697  ax-hvdistr1 25698  ax-hvdistr2 25699  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his1 25772  ax-his2 25773  ax-his3 25774  ax-his4 25775
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-icc 11537  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-lm 19536  df-haus 19622  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-vs 25265  df-nmcv 25266  df-ims 25267  df-hnorm 25658  df-hvsub 25661  df-hlim 25662  df-sh 25897  df-ch 25912  df-ch0 25944  df-span 26000
This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  27111
  Copyright terms: Public domain W3C validator