HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanid Structured version   Unicode version

Theorem spanid 26692
Description: A subspace of Hilbert space is its own span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanid  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )

Proof of Theorem spanid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shss 26554 . . 3  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
2 spanval 26678 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  = 
|^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }
)
4 intmin 4249 . 2  |-  ( A  e.  SH  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =  A
)
53, 4eqtrd 2445 1  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760    C_ wss 3416   |^|cint 4229   ` cfv 5571   ~Hchil 26263   SHcsh 26272   spancspn 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hv0cl 26347  ax-hfvmul 26349
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-map 7461  df-nn 10579  df-hlim 26316  df-sh 26551  df-ch 26566  df-span 26654
This theorem is referenced by:  spanssoc  26694  shs0i  26794  spansn0  26886  span0  26887  spanuni  26889  spansnpji  26923  spanunsni  26924  spansnji  26991  shatomistici  27706
  Copyright terms: Public domain W3C validator