HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spancl Structured version   Unicode version

Theorem spancl 24874
Description: The span of a subset of Hilbert space is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spancl  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )

Proof of Theorem spancl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spanval 24871 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
2 ssrab2 3535 . . 3  |-  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH
3 helsh 24783 . . . . 5  |-  ~H  e.  SH
4 sseq2 3476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ~H  ->  ( A  C_  x  <->  A  C_  ~H ) )
54rspcev 3169 . . . . 5  |-  ( ( ~H  e.  SH  /\  A  C_  ~H )  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
63, 5mpan 670 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  E. x  e.  SH  A  C_  x
)
7 rabn0 3755 . . . 4  |-  ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  A  C_  x )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )
9 shintcl 24868 . . 3  |-  ( ( { x  e.  SH  |  A  C_  x }  C_  SH  /\  { x  e.  SH  |  A  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
102, 8, 9sylancr 663 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  e.  SH )
111, 10eqeltrd 2539 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  e.  SH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3426   (/)c0 3735   |^|cint 4226   ` cfv 5516   ~Hchil 24456   SHcsh 24465   spancspn 24469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463  ax-hilex 24536  ax-hfvadd 24537  ax-hvcom 24538  ax-hvass 24539  ax-hv0cl 24540  ax-hvaddid 24541  ax-hfvmul 24542  ax-hvmulid 24543  ax-hvmulass 24544  ax-hvdistr1 24545  ax-hvdistr2 24546  ax-hvmul0 24547  ax-hfi 24616  ax-his1 24619  ax-his2 24620  ax-his3 24621  ax-his4 24622
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-icc 11408  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-lm 18949  df-haus 19035  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-gdiv 23816  df-ablo 23904  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-vs 24112  df-nmcv 24113  df-ims 24114  df-hnorm 24505  df-hvsub 24508  df-hlim 24509  df-sh 24744  df-ch 24759  df-ch0 24791  df-span 24847
This theorem is referenced by:  elspancl  24875  shsupcl  24876  span0  25080  spanuni  25082  spanunsni  25117  shatomistici  25900
  Copyright terms: Public domain W3C validator