HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  span0 Structured version   Unicode version

Theorem span0 24957
Description: The span of the empty set is the zero subspace. Remark 11.6.e of [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
span0  |-  ( span `  (/) )  =  0H

Proof of Theorem span0
StepHypRef Expression
1 h0elsh 24671 . . . . 5  |-  0H  e.  SH
21shssii 24627 . . . 4  |-  0H  C_  ~H
3 0ss 3678 . . . 4  |-  (/)  C_  0H
4 spanss 24763 . . . 4  |-  ( ( 0H  C_  ~H  /\  (/)  C_  0H )  ->  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
)
52, 3, 4mp2an 672 . . 3  |-  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
6 spanid 24762 . . . 4  |-  ( 0H  e.  SH  ->  ( span `  0H )  =  0H )
71, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( span `  0H )  =  0H
85, 7sseqtri 3400 . 2  |-  ( span `  (/) )  C_  0H
9 0ss 3678 . . . 4  |-  (/)  C_  ~H
10 spancl 24751 . . . 4  |-  ( (/)  C_ 
~H  ->  ( span `  (/) )  e.  SH )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( span `  (/) )  e.  SH
12 sh0le 24855 . . 3  |-  ( (
span `  (/) )  e.  SH  ->  0H  C_  ( span `  (/) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  0H  C_  ( span `  (/) )
148, 13eqssi 3384 1  |-  ( span `  (/) )  =  0H
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ` cfv 5430   ~Hchil 24333   SHcsh 24342   spancspn 24346   0Hc0h 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-icc 11319  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-lm 18845  df-haus 18931  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-hnorm 24382  df-hvsub 24385  df-hlim 24386  df-sh 24621  df-ch 24636  df-ch0 24668  df-span 24724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator